खास अटी असणाऱ्या रचना 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 8 जुलै 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘गेल्या वेळी नंदू, तू ओळीनं माणसं बसवताना मित्र शेजारी बसणार असले, तर रचना कशा मोजायच्या याचा विचार करायचा म्हणत होतास. तर ती मोजणी कशी करायची हे पाहू या..’ मालतीबाईंनी सुरुवात केली. सतीश म्हणाला, ‘समजा चार जणांमध्ये दोघं मित्र जवळ जवळ बसणार आहेत, तर त्या रचना मोजू या. अ, ब, क आणि ड हे चार जण आहेत आणि अ आणि ब हे मित्र आहेत. तर मग अ आणि ब यांना एका बॉक्‍समध्ये ठेवले आहे, असं समजून (अ ब), क आणि ड या तिघांची रचना कशी करता येईल ते मोजू.’ (कृपया आकृती १ पहा.) 

‘या रचना ३! म्हणजे ६ आहेत ना?’ शीतलनं विचारलं. ‘तुझा विचार बरोबर दिशेनं आहे, पण मोजणी पूर्ण झाली नाही. त्या बॉक्‍समध्ये अ आणि ब हे दोन प्रकारांनी बसू शकतात हेदेखील विचारात घ्यायला हवं,’ बाई म्हणाल्या. ‘ओके, मग ६ X २ = १२ हे उत्तर आहे! कारण तिघांची प्रत्येक रचना बॉक्‍सच्या अंतर्गत दोन रचना देते,’ शीतलनं आपली मोजणी पुरी केली. 

‘आता समजा, अ आणि ब यांचं भांडण झालं आहे आणि त्यांना एकमेकांच्या जवळ बसायचं नाही. मग त्या चार जणांच्या बसण्याच्या किती रचना होतील?’ नंदूनं आपला प्रश्‍न बदलला. आता हर्षा उत्तर शोधू लागली... ‘त्या दोघांच्या मधे कुणीतरी बसेल. क किंवा ड त्यांच्या मधे बसेल आणि उरलेला अगदी डाव्या किंवा उजव्या कडेला बसेल. या चार शक्‍यता झाल्या. शिवाय मधे दोघे बसले, तर त्याही दोन शक्‍यता आहेत.’ (कृपया आकृती २ पहा.) 

‘अजून एक प्रकार राहिला. तू डावीकडं अ बसवलास, त्याऐवजी डावीकडं ब बसला तर शक्‍यता वाढतात ना?’ शीतलनं आठवण करून दिली. ‘खरंच की! म्हणजे ६ X २ अशा १२ शक्‍यता इथंही मिळतात,’ हर्षानं मोजणी केली. ‘याशिवाय आणखी एक प्रकार आहे, हीच मोजणी करण्याचा,’ बाई म्हणाल्या. ‘एकूण रचनांच्या संख्येमधून अ आणि ब जवळ जवळ बसण्याच्या रचनांची संख्या वजा केली, की ज्या रचनांत ते जवळ जवळ नाहीत, त्या रचना मिळतात की नाही?’ ‘होय की! एकूण रचना आहेत ४! = २४. त्यातून अ आणि ब जवळ जवळ असण्याच्या १२ शक्‍यता वजा केल्या, तरी १२ हेच उत्तर मिळतं,’ सतीशनं ती मोजणी करून दाखवली. 

‘एक गणित सोडवण्याच्या अनेक पद्धती असू शकतात याचं हे उदाहरण आहे. तुम्हाला आठवतात का, एक गणित सोडवण्याच्या अनेक पद्धती?’ मालतीबाईंनी विचारलं. ‘या आयताकृती जागेत, मधोमध जरा लहान आयताकृती मैदान तयार केलं, तर उरलेल्या जागेचं क्षेत्रफळ दोन प्रकारांनी काढता येतं. या खाली दिलेल्या आकृती ३ मधे पाहा. लहान मैदानाबाहेरची जागा आयताकृती पट्ट्या करून मोजावी किंवा सरळ मोठ्या आयताच्या क्षेत्रफळातून लहान आयताचे क्षेत्रफळ वजा केलं, तरी तेच उत्तर मिळतं,’ शीतलनं सांगितलं. ‘शाबास! वेगवेगळ्या शक्‍यतांची मोजणी करताना अशाच अनेक पद्धती वापरता येतात. आपण अर्थात शक्‍य तेवढी सोपी वापरावी,’ बाई म्हणाल्या.

संबंधित बातम्या