शक्‍यतांची मोजणी आणि मोजणीच्या शक्‍यता 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 24 जून 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज आपण गणितातलं नवं चिन्ह पाहू या,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘ते कोणते?’ नंदूचा प्रश्‍न आला. ‘गुणाकार, भागाकार, बेरीज किंवा वजाबाकी यांची चिन्हे आपल्याला माहीत आहेत. ! हे चिन्हदेखील गणितात वापरले जाते,’ असे बाईंनी म्हणताच ‘हे तर उद्गारचिन्ह आहे!’ असं नंदू म्हणाला. ‘बरोबर! गणितात ते वेगळ्या अर्थानं वापरतात! यात ते उद्गारचिन्ह नसून त्याचा अर्थ वेगळा आहे. तो आहे ५ X ४ X ३ X २ X १ = १२०’ बाई म्हणाल्या. हर्षाला प्रश्‍न पडला, ‘पण असं लिहिण्याची गरज काय? १२० ला सरळ १२० असं लिहिता येतं की!’ ती म्हणाली. 

‘तेही बरोबर आहे, पण काही शक्‍यता तपासताना वारंवार अशा प्रकारचा गुणाकार करावा लागतो, तो लवकर आणि थोडक्‍यात व्यक्त करण्यासाठी हे चिन्ह वापरलं जातं. आपण काही उदाहरणं पाहू, म्हणजे कारण समजेल. जर क्ष आणि य या दोन संख्या एका ओळीत मांडायच्या असतील, तर किती प्रकार किंवा शक्‍यता आहेत?’ बाईंचा प्रश्‍न येताच नंदू म्हणाला, ‘अर्थात क्ष य किंवा य क्ष या दोनच शक्‍यता आहेत.’ ‘अ ब आणि क ही तीन अक्षरं एका ओळीत मांडायची असतील तर ती किती प्रकारांनी मांडता येतील?’ बाईंचा पुढचा प्रश्‍न आला. सतीशनं ती अक्षरे मांडून दाखवली. (खालील आकृती पहा) असे एकूण सहा प्रकार होतात,’ तो म्हणाला. बाई पुढं बोलू लागल्या, ‘आता २ = २ X १ आणि ६ = ३ X २ X १ हे लक्षात ठेवा. इथं आपण किती जण आहोत?’ बाईंच्या प्रश्‍नाला नंदूनं उत्तर दिलं, ‘पाच!’ ‘समजा आपण एका सिनेमाला गेलो आणि एका ओळीत क्रमानं पाच क्रमांकांची तिकिटं काढली आहेत. तर आपण बसण्याच्या किती शक्‍यता आहेत?’ मुले जरा विचार करत होती. सतीश म्हणाला, ‘खूपच शक्‍यता आहेत. उदाहरणार्थ सर्वांत डावीकडं किंवा लहान क्रमांकावर कोण बसणार, सर्वांत उजवीकडं कोण बसणार या सगळ्या शक्‍यता तपासायला हव्यात.’ ‘यासाठी गणितज्ज्ञांनी मोजणीची पद्धत अशी दाखवली आहे. दोन अक्षरं दोन जागांवर ठेवताना पहिली जागा भरायला दोन शक्‍यता आहेत मग दुसरीसाठी एकच शक्‍यता उरते. म्हणून इथं एकूण शक्‍यता २ X १. तीन अक्षरांनी ओळीनं तीन जागा भरताना सर्वांत डावीकडची किंवा पहिली तीनपैकी कोणत्याही अक्षरानं म्हणजे ३ प्रकारांनी भरता येते. मग दुसरीसाठी उरल्या दोन शक्‍यता, तर तिसरीसाठी एकच शक्‍यता उरते, म्हणून एकूण शक्‍यता ३ X २ X १ = ६. आपल्या सिनेमाच्या ५ ओळीनं जागा ५ जणांनी भरायच्या आहेत. पहिली जागा पाचपैकी कोणीही एक म्हणजे ५ प्रकारांनी भरायची. मग जागा उरल्या ४ आणि माणसंही चार! जवळची दोन नंबरची जागा आता ४ प्रकारांनी भरता येते. म्हणजे पहिल्या दोन जागा ५ X ४ प्रकारांनी भरता येतात. आता ओळीनं तीन जागा आणि तीन माणसं आहेत, तर त्यातली ३ नंबरची जागा ३ प्रकारांनी भरता येते. मग ४ नंबरची जागा उरलेल्या दोन माणसांच्या मधून दोन प्रकारे आणि शेवटी जागा एक आणि माणूसही एक तर एकाच प्रकारे ती भरली जाणार. एकूण शक्‍यता ५ X ४ X ३ X २ X १ = १२०. हेच स्पष्टीकरण पुढं पुढं चालू ठेवून कोणताही धन पूर्णांक न असेल, तर ओळीनं न जागा न व्यक्तींनी भरण्यासाठी न X (न-१) X (न-२) X ... X २ X १ अशा न पूर्णांकांचा गुणाकार असं उत्तर मिळतं. ओळीनं दोन जागांवर दोन अक्षरं आणि तीन जागांवर तीन अक्षरं भरताना अशीच उत्तरं मिळाली होती हे ध्यानात घ्या. हवं तर ओळीनं चार जागा चार माणसांनी भरण्याच्या ४! शक्‍यता मोजून पाहा,’ बाई म्हणाल्या. ‘उद्गार चिन्हाचा अगदी वेगळा उपयोग आहे हा! खास गणिती लोकांची भाषा दिसते. ‘न!’ हे वाचायचं कसं?’ सतीशनं विचारलं. 

‘न!’ याला म्हणतात ‘न फॅक्‍टोरियल’ किंवा ‘फॅक्‍टोरियल न’, बाईंनी उत्तर दिलं. ‘माझ्याजवळ ३ फॅक्‍टोरियल एवढ्या गोळ्या आहेत आपण सगळे एकेक घेऊ या, मग एक गोळी उरेल, ती मीच घेणार!’ नंदू म्हणाला. ‘इथं प्रत्येकाला एकेक गोळी दिल्यावर उरलेली गोळी देण्याच्या पाच शक्‍यता आहेत, त्यातली एक तू निवडलीस!’ सतीश उद्‌गारला. 

‘पुढच्या वेळेला आपण दिलेल्या वस्तूंच्या किंवा व्यक्तींच्या विविध रचनांची मोजणी करण्याचे प्रकार पाहू या...’ बाईंनी सांगून ठेवले.

संबंधित बातम्या