आगगाड्यांचं नवीन कोडं  

मंगला नारळीकर
सोमवार, 17 जून 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘खूप मोठे गुणाकार भागाकार नसलेलं कोडं देतेस का आजी?’ नंदूनं विचारलं. ‘जरूर! पण थोडा विचार करायला हरकत नाही ना?’ मालतीबाईंनी उलट प्रश्‍न केला. सगळ्यांनी जोरदार होकार दिल्यावर बाई कोडे सांगू लागल्या... 

‘दोन शहरं आहेत, पिंपळगाव आणि वडगाव नावाची. त्यांना जोडणारी रेल्वे आहे. प्रत्येक शहरातून बरोबर तासाला म्हणजे सकाळी सहा, सात, आठ वाजता अशा आगगाड्या सुटतात. एका गावाहून दुसऱ्या गावाला जायला पाच तास लागतात. आता विचार करून सांगा.. सकाळी ११ वाजता जी गाडी पिंपळगावाहून सुटेल तिच्यात बसणाऱ्या माणसाला वडगावहून येणाऱ्या किती गाड्या दिसतील?’ ‘सोपं आहे, दर तासाला गाड्या सुटतात, तर ११ पासून दुपारी ४ वाजेपर्यंत पाच गाड्या दिसतील ना?’ नंदूनं चटकन सांगितलं. ‘अशी घाई करू नकोस. सकाळी अकरा वाजता वडगावहून पहाटे ६ वाजता सुटणारी गाडीदेखील पिंपळगावला पोचेल, ती आधी दिसेल. मग पिंपळगावच्या गाडीत बसणाऱ्याला दुपारी ४ वाजता वडगावला पोचेपर्यंत आणखी कोणत्या गाड्या दिसतील ते नीट मोजायला हवं,’ शीतल म्हणाली. 

‘आता पाहा, त्याला वडगावहून सुटणाऱ्या ६ पासूनच्या कोणकोणत्या गाड्या दिसतील ते! सगळ्यात शेवटी पिंपळगावहून आलेल्या या गाडीला ५ तासांनी म्हणजे ४ वाजता वडगावहून ४ वाजता सुटणारी गाडीदेखील दिसेल,’ शीतल पुढं म्हणाली. ‘अच्छा, म्हणजे वडगावहून पहाटे ६ पासून ते दुपारी ४ वाजेपर्यंत सुटणाऱ्या सगळ्या गाड्या मोजायच्या आहेत!’ नंदूची ट्यूबलाईट आता पेटली. ‘मग ६ ते १२ पर्यंत ७ गाड्या आणि नंतर १ ते ४ अशा चार म्हणजे एकूण ११ गाड्या तो माणूस पाहील,’ हर्षानं हिशोब पूर्ण केला. ‘आता यात थोडा फरक करू या. पिंपळगावाहून ६, ७, ८ अशा दर तासाला गाड्या निघतात पण वडगावहून साडेसहा, साडेसात, साडेआठ अशा वेळेला दर तासानं गाड्या सुटतात, तर पुन्हा सकाळी ११ वाजता सुटणाऱ्या गाडीत बसलेल्या माणसाला विरुद्ध बाजूनं येणाऱ्या किती गाड्या दिसतील?’ बाईंनी प्रश्‍न थोडा अवघड केला. सतीशनं तो सोडवून दाखवला... ‘प्रथम वडगावहून सकाळी साडेसहाला सुटलेली गाडी, जी पिंपळगावला साडेअकराला पोचते, ती वाटेत दिसेल. मग दुपारी साडेतीनपर्यंतच्या गाड्या मोजायच्या. त्या दहा होतात ना?’ ‘शाबास! हा प्रश्‍न अधिकाधिक अवघड करता येतो. उदाहरणार्थ दोन्ही बाजूंच्या गाड्या एकाच वेगानं जात नसल्या, पिंपळगावाहून सुटणाऱ्या गाड्या विरुद्ध दिशेच्या गाड्यांच्या दुप्पट वेगानं जात असल्या, तर काय उत्तर येईल आपल्या प्रश्‍नाचं?’ बाईंनी विचारलं. मुलं थोडा वेळ विचार करत होती. शीतलनं सावकाश उत्तर दिलं, ‘पिंपळगावची गाडी अडीच तासातच वडगावला पोचेल. पहाटे साडेसहापासून दीड वाजेपर्यंत एकूण ८ गाड्या सुटतात, त्या दिसतील.’ ‘शाबास! असे वेग असताना, उलट वडगावहून साडेअकरा वाजता निघणाऱ्या गाडीतील माणसाला विरुद्ध दिशेहून येणाऱ्या किती गाड्या दिसतील तेही सांगा..’ बाई म्हणाल्या. ‘आकडेमोड नको असं म्हटलं होतं ना मी?’ नंदूनं जरा फुरंगटून म्हटलं. ‘दुसरी एक पद्धत आहे असं गणित सोडवण्याची, ती आपण पाहू या...’ असं म्हणून बाईंनी एक कागद, पेन्सिल, पट्टी आणि रंगीत पेन्सिली घेऊन चित्र काढलं. (वरील आकृती पहा) 

‘हा आहे आलेख. यात आडव्या रेषेवर पिंपळगाव आणि वडगाव ही गावं दाखवली आहेत. त्या बिंदूंच्या वर त्याच ठिकाणाची वेगवेगळी वेळ दाखवणाऱ्या उभ्या रेषा आहेत. आता एक निळी रेषा पिंपळगाववरील ११ च्या बिंदूला वडगावच्या ४ वाजताच्या बिंदूशी जोडते. ती आहे आपली आगगाडी. वडगावहून निघणाऱ्या गाड्या काळ्या रेषांनी दाखवल्या आहेत. त्या बरोबर ५ तासांनी पिंपळगावला पोचलेल्या दिसतात. दिलेली माहिती अशी चित्रात दिली की चटकन समजते,’ बाईंचं बोलणं नंदूला पटलं. तो म्हणाला, ‘आई म्हणतेच, की चांगलं चित्र हजार शब्दांपेक्षा जास्त परिणाम करतं.’ 

‘आता या निळ्या रेषेला वडगावहून निघालेल्या किती काळ्या रेषा छेद देतात किंवा भेटतात ते मोजायला सोपं आहे ना?’ बाईंचा प्रश्‍न आला, तेव्हा सगळे आनंदानं ‘हो हो’ म्हणाले. ‘पिंपळगावहून ११ वाजता निघालेली लाल रेषा म्हणजे दुप्पट वेगानं जाणारी गाडी आहे ना?’ शीतलनं विचारलं. ‘शाबास! ती रेषा वडगावला अडीच तासात दीड वाजता पोचलेली दिसते आहे. तिला भेटणाऱ्या गाड्याही मोजणं सोपं आहे ना? गणित सोडवण्याच्या अनेक पद्धती असू शकतात. एखादी सरळ मार्गानं आकडेमोड करते, तर दुसरी वेगळ्या मार्गानं चटकन उत्तर देते. वेगवेगळ्या पद्धतींनी विचार करणं फायद्याचं असतं, हे ध्यानात ठेवा,’ बाई म्हणाल्या. 

संबंधित बातम्या