कामाची वाटणी 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 29 एप्रिल 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

"आज एखादे सोपे कोडे देतेस का आजी?’’ नंदूने विचारले. "त्यासाठी लहानशी गोष्ट पाहू. कोकणात दोन कामगार मित्र होते. भीमा आणि धर्मा. त्यातला भीमा शक्तिमान आणि कामात तरबेज होता, तर धर्मा जरा अशक्त, कामात हळू असा होता. एकदा एका नारळाच्या व्यापाऱ्याने त्या दोघांना न सोललेल्या नारळांची म्हणजे असोल्या नारळांची पोती दिली आणि त्यातले नारळ सोलून ठेवायला सांगितले. भीमाच्या पोत्यावर त्याने b लिहिले, तर धर्माच्या पोत्यावर d लिहिले. दुसऱ्या दिवशी सकाळी येऊन प्रत्येकाने आपापल्या पोत्यातील नारळ सोलून ठेवायचे असे ठरले. दुसऱ्या दिवशी धर्मा सूर्य उगवण्यापूर्वीच तिथे आला आणि त्याने एका पोत्यातले नारळ सोलायला सुरुवात केली. थोड्या वेळाने भीमा आला. त्याने पाहिले, की धर्मा b असे लिहिलेल्या पोत्यातले नारळ सोलतो आहे. जरा अंधारात, तो आपले पोते न घेता भीमाचे पोते उघडून काम करू लागला होता हे लक्षात आल्याबरोबर बिचारा खट्टू झाला. ‘तुझ्यासारखे भराभर काम करू शकत नाही, म्हणून लवकर काम सुरू करायला आलो आणि ही चूक करून बसलो. तुझ्याच पोत्यातले ७ नारळ सोलून झाले,’ असे धर्मा म्हणाला. ‘काही हरकत नाही, आता तू स्वतःला दिलेल्या पोत्यातले नारळ सोलायला सुरुवात कर. माझे काम संपले, की मी तुझ्या पोत्यातले नारळ सोलायला येतो,’ असे म्हणून भीमाने धर्माला d असे लिहिलेले पोते दिले आणि b असे लिहिलेल्या पोत्यातले उरलेले नारळ सोलायला घेतले. भीमाचे काम लवकरच संपले आणि तो धर्माच्या मदतीला गेला. त्याने धर्माच्या बरोबर धर्माच्या पोत्यातले १२ नारळ सोलले तेव्हा धर्माचेही सगळे नारळ सोलून झाले. ‘जर दोघांच्याही पोत्यात सारखेच नारळ होते, तर भीमाने धर्मापेक्षा किती नारळ जास्त सोलले?’ मालतीबाईंनी मुलांना कोडे घातले. 

‘सोपे दिसते आहे हे! धर्माने भीमाच्या पोत्यातले ७ नारळ सोलले आणि भीमाने धर्माच्या पोत्यातले १२ नारळ सोलले होय ना?’ नंदूने विचारले. ‘होय!’ असे उत्तर मिळताच तो म्हणाला, ‘१२ वजा ७ म्हणजे भीमाने ५ नारळ जास्त सोलले,' नंदूने सांगितले. ‘हे उत्तर बरोबर नाही. समजा प्रत्येक पोत्यात २० नारळ असले, तर सगळी क्रिया करून पाहा बरे!’ बाईंनी सुचवले. हर्षाने हळूहळू नंदूचे उत्तर तपासले. ‘धर्माने भीमाच्या पोत्यातले ७ नारळ सोलले, तर भीमाच्या पोत्यात १३ उरले होते. ते सोलून झाल्यावर भीमाने धर्माच्या पोत्यातले १२ असे एकूण २५ नारळ सोलले. धर्माने आधी भीमाचे ७ आणि मग स्वतःच्या पोत्यातले ८ असे १५ नारळ सोलले. म्हणजे भीमाने १० नारळ जास्त सोलले,’ हर्षा म्हणाली. 

‘हे गणित बीजगणित वापरून चांगले समजेल. प्रत्येक पोत्यात किती नारळ आहेत हे माहीत नाही पण ते क्ष आहेत असे मानून भीमाने स्वतःच्या पोत्यातले क्ष - ७ आणि धर्माच्या पोत्यातले १२ असे क्ष - ७ + १२ = क्ष + ५ एवढे नारळ सोलले. धर्माने भीमाच्या पोत्यातले ७ आणि स्वतःच्या पोत्यातले क्ष - १२ असे दोन्ही मिळून क्ष - १२ + ७ = क्ष - ५ एवढे नारळ सोलले. (क्ष + ५) आणि (क्ष - ५) यातला फरक १० आहे, होय ना?‘ बाईंनी समजावले. ‘पण माझे काय चुकले? भीमाने आधी ७ कमी आणि नंतर १२ जास्त असे नारळ सोलले ना?’ नंदूचे समाधान झाले नव्हते. बाई म्हणाल्या, ‘५ ही संख्या भीमाने त्याला दिलेल्या कामापेक्षा किती जास्त नारळ सोलले याची आहे. प्रश्‍न होता, त्याने धर्मापेक्षा किती जास्त नारळ सोलले हा! धर्माने तर आधी ७ जास्त आणि नंतर १२ कमी असे एकूण दिलेल्या कामापेक्षा ५ नारळ कमी सोलले हे तू लक्षात घेतले नाहीस. आपल्या कोड्यात प्रत्येक पोत्यात किती नारळ होते हे दिलेले नाही. ते शोधण्यासाठी आणखी माहिती लागेल. या सगळ्या कोड्यात भीमाचा कामाचा वेग जास्त आहे हे उघड आहे. समजा भीमाचा कामाचा वेग धर्माच्या वेगाच्या दुप्पट असेल, तर प्रत्येकाच्या पोत्यात किती नारळ होते हे शोधता येईल का?’ 

‘बीजगणित वापरायला हवे!’ इति शीतल. ‘आम्ही प्रयत्न करून पाहतो. तू पुढच्या वेळेला तपास.’

संबंधित बातम्या