वयांची कोडी 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 22 एप्रिल 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

हर्षाने सुरवातीलाच उत्साहाने सांगितले, ‘आज मी एक कोडे तयार केले आहे, पाहा. माझ्या आईचे वय माझ्या वयाच्या चौपट आहे. आणखी पाच वर्षांनी तिचे वय माझ्या वयाच्या तिप्पट असेल. तर आमची वये ओळखता येतील का?’ नंदू म्हणाला, ‘प्रयत्न करतो. मला माहित आहे तू माझ्यापेक्षा मोठी आहेस, तू ९ वर्षांची असलीस, तर तुझी आई ३६ वर्षांची असेल. ५ वर्षांनी तू होशील १४ वर्षांची आणि तुझी आई असेल ४१ वर्षांची!’ ‘पण ९ ची तिप्पट काही ४१ नाहीये,’ हर्षाने सुनावले. ‘मग मग तू १० वर्षांची आहेस का पाहू.. तुझी आई ४० वर्षांची असेल, तर आणखी ५ वर्षांनी तू १५ वर्षांची आणि आई ४५ वर्षांची होणार हे बरोबर दिसतंय. म्हणून तू आज १० वर्षांची आणि आई ४० वर्षांची आहे, होय ना?’ नंदूने कोडे सोडवले. 

‘असे वेगवेगळ्या शक्‍यता तपासत, म्हणजे ट्रायल अँड एरर पद्धत वापरत गणित सोडवण्यापेक्षा बीजगणित वापरून सोडवणे सोपे असते ना?’ शीतलने विचारलं. ‘बरोबर, तू सांग पाहू इथे बीजगणित कसे वापरायचं ते!’ मालतीबाई म्हणाल्या. शीतल सांगू लागली, ‘हर्षाचे आजचे वय क्ष मानले, तर आईचे असेल ४क्ष. ५ वर्षांनी हर्षा होईल क्ष + ५ वर्षांची, तर आई असेल ४क्ष + ५ वर्षांची. त्यावेळी आईचे वय हर्षाच्या वयाच्या तिप्पट असेल, म्हणजे समीकरण मांडू या... ३ (क्ष + ५) = ४क्ष + ५. डावी बाजू ३ आणि क्ष + ५ यांचा गुणाकार आहे. तो करून ३क्ष + १५ = ४क्ष + ५, ते सोडवून क्ष = १० हे उत्तर मिळाले, ते तपासून पाहता येईल. आम्हाला शाळेत अशी गणिते बीजगणित वापरून करायला शिकवले आहे.’ 

‘तुम्हाला वयांचे जरा वेगळे कोडे देते. एक लहान मुलगा आणि त्याचे आजोबा यांचा वाढदिवस एकाच दिवशी असतो. ६ ऑगस्ट २०१८ ला दोघांचा एकत्र वाढदिवस साजरा होत असताना मुलगा म्हणतो, ‘माझ्या जन्मदिवसाचा चार अंकी सन आहे, त्यातले पहिले दोन अंक सोडून दशक एककाने जी संख्या होते, त्या संख्येएवढेच माझे आज वय आहे.’ आजोबा म्हणतात, ‘माझ्याबाबतीतदेखील तसेच आहे आज! जन्मदिवसाचा सन पाहिला आणि त्यातल्या शेवटच्या दशक-एककाने होणारी संख्या पाहिली, तर तेवढेच माझे आज वय आहे!... हे कसे शक्‍य आहे, त्या दोघांची जन्मवर्षे कोणती हे सांगा पाहू!’ बाईंचे कोडे ऐकून मुले जरा गोंधळलेली दिसली. त्या म्हणाल्या, ‘सावकाश प्रयत्न करा. आधी मुलाचे वय ओळखा, ते सोपे आहे.’ सतीश म्हणाला, ‘मुलाचा जन्म माझ्यासारखा २००५ मध्ये झाला असला, तर तो २०१८ मध्ये १३ वर्षाचा असेल. पण ५ आणि १३ समान नाहीत... त्याचा जन्म २००९ मध्ये झाला असणार, म्हणजे तो २०१८ मध्ये बरोबर ९ वर्षांचा असेल!’ ‘शाबास! पहिला भाग बरोबर सोडवलास! आता आजोबांच्या वयाचा आणि जन्मदिवसाचा विचार करू या,’ बाईंनी शाबासकी दिली. शीतलच्या लक्षात आले, ‘आजोबांचा जन्म २००० च्या आधी म्हणजे एकोणिसाव्या शतकात असणार... १९४०, १९५० यांच्यासारखा. कारण ते १८ वर्षांपेक्षा नक्की मोठे आहेत.’ ‘अगदी बरोबर! आता वापरा बीजगणित!’ बाईंची सूचना आली. शीतल पुढे म्हणाली, ‘आजोबांचे वय १९०० + क्ष मानू या का?’ ‘चालेल. आता त्यांचे वय २०१८ मध्ये किती असेल ते नीट मोजा. सन २००० पर्यंत ते किती झाले असेल?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून मुले विचार करू लागली. शीतल म्हणाली, ‘सन २००० मध्ये त्यांचे वय १०० - क्ष असेल ना? उदाहरणार्थ जन्म १९४० चा असेल, तर २००० मध्ये ते ६० वर्षांचे असतील. २००० मध्ये १०० - क्ष वय असेल आणि पुढे २०१८ मध्ये १०० - क्ष + १८ असणार!’ ‘शाबास, आणि जन्मवर्षातले पहिले १९ काढून टाकले, तर उत्तर येते क्ष!’ बाई म्हणाल्या. आता सतीशने समीकरण मांडून गणित पुरे केले.. ‘१०० - क्ष + १८ = क्ष. म्हणून २क्ष = १०० + १८ आणि क्ष = ५९. आजोबांचे जन्मवर्ष १९५९. आजोबांचे वय २०१८ मध्ये ५९ होते.’

संबंधित बातम्या