वह्या - पेन्सिलींचे कोडे 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 15 एप्रिल 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज ते वह्या आणि पेन्सिली यांचे कोडे सोडवून दाखवणार आहेस ना?’ नंदूने आल्याबरोबर विचारले. ‘पण तुम्ही काय प्रयत्न केला आहे त्यासाठी? शिवाय मी एक माहिती द्यायला विसरले. जेवढ्या मुलांना वह्यांच्या बरोबर पेन्सिली मिळाल्या, तेवढ्याच मुलांना वह्यांच्या बरोबर पेन्सिली मिळाल्या नाहीत. आपण परत एकदा पाहू या ते कोडे... जेवढे सभासद जमले, तेवढे रुपये प्रत्येकाने दिले म्हणजे रुपयांची संख्या पूर्ण वर्ग आहे हे तुम्ही पाहिले होतेच. प्रत्येक वही १० रुपयांची, अशा जेवढ्या मिळू शकल्या तेवढ्या वह्या घेतल्या. उरलेल्या सुट्या रुपयांच्या प्रत्येकी एक रुपयाची अशा पेन्सिली घेतल्या,’ मालतीबाईंनी आठवण करून दिली. 

सतीशने विचारले, ‘उदाहरणार्थ ९ सभासद असले, तर ८१ रुपये गोळा झाले. ८ वह्या मिळाल्या आणि एक पेन्सिल, असेच ना?’ ‘अगदी बरोबर! आता आणखी काही संख्याचे वर्ग करून पाहा बरे!’ बाईंनी सुचवले. शीतलने यादी तयार केली होती ती दिली... ९२ = ८१, १०२ = १००, ११२ = १२१, १२२ = १४४, १३२ = १६९, १४२ = १५६ अशी. ती म्हणाली, ‘तुम्ही सांगितलं, की प्रत्येकी दोन वह्या विद्यार्थ्यांना वाटल्या आणि एक उरली. १०० रुपयात १० वह्या येतात, पण पेन्सिल एकही येत नाही. १४४ मध्ये १४ वह्या येतील, पण प्रत्येकाला दोन वाटल्या, तर वही उरत नाही. आपल्याकडे एक वही उरली, म्हणजे वह्या आहेत विषम संख्येत, जमलेल्या रुपयांचे दशक विषम असायला हवेत. ते १५६ मध्ये आहेत. म्हणून १४ सभासद असू शकतील.’ ‘शाबास, तू गणिती तर्क किंवा चाळणी चांगली वापरलीस. १००, १२१, १४४, १६९ यांच्या मध्ये दशक सम संख्येत आहेत म्हणून तेवढे रुपये जमले नाहीत. तर्कशुद्ध विचार करून काही शक्‍यता बाद करणे या रीतीला गणिती चाळणी किंवा mathematical sieve असे म्हणतात. पण आता सगळी माहिती वापरून पाहू. १५६ रुपयात १५ वह्या आणि ६ पेन्सिली येतील. सात मुलांना १४ वह्या वाटून एक वही हिशेब लिहायला उरली. पण आणखी माहिती अशी आहे, की जेवढ्या मुलांना पेन्सिलीदेखील मिळाल्या, तेवढ्याच मुलांना फक्त वह्या मिळाल्या. म्हणजे वह्या मिळालेली मुले सम संख्येत हवीत. ते इथे होत नाही,’ बाई म्हणाल्या. 

शीतलने लगेच वर्गसंख्यांची यादी १५२ = २२५, १६२ = २५६, १७२ = २८९ अशी वाढवली. आता सतीशने दाखवून दिले, ‘२२५ मध्ये वह्या सम संख्येत येतात म्हणून ती संख्या बाद आहे, पण २५६ मध्ये २५ वह्या येतात, त्यातल्या २४ वह्या १२ मुलांना दिल्या, ६ पेन्सिली अर्थात ६ मुलांना मिळाल्या आणि ६ मुलांना पेन्सिली मिळू शकल्या नाहीत. मग १६ सभासद आणि २५६ रुपये जमले, हे बरोबर आहे ना?’ बाई म्हणाल्या, ‘बरोबर आहे. पण एवढे एकच उत्तर आहे का ते तपासू... १९ = ३६१, ती संख्या ३६ दशकांच्यामुळे बाद, तर २० पेक्षा मोठ्या संख्यांचे दशक ४० पेक्षा मोठे आहे. पेन्सिली निम्म्याच मुलांना मिळाल्या, त्या ९ पेक्षा जास्त नाहीत, म्हणून वह्या किंवा दशक ३६ + १ = ३७ हून जास्त असणार नाहीत. कारण मुले १८ हून जास्त नाहीत. म्हणून १६ सभासद हे एकच उत्तर शक्‍य आहे.’

संबंधित बातम्या