फिरत्या विक्रेत्याचे कोडे 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 25 मार्च 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज त्या फिरत्या विक्रेत्याचे कोडे कसे सोडवायचे ते सांगणार आहात ना?’ हर्षाने आल्याआल्या विचारले. ‘तुम्ही त्यावर विचार केलात का?’ मालतीबाईंनी प्रश्‍न केला. ‘हो, पण काही जमले नाही. कारण १३ बेरीज येणाऱ्या अनेक शक्‍यता आहेत,’ हर्षा उत्तरली. ‘शिवाय घरनंबर विक्रेत्याला माहीत होता, आम्हाला माहीत नाही,’ सतीश म्हणाला. 

‘सावकाश कसा विचार करायचा ते पाहू..’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘आधी दिलेली माहिती पाहा बरे! तीन मुलींच्या वयांची बेरीज १३ आहे आणि त्याच्या वयांचा गुणाकार दिला आहे. पण एवढी माहिती वये ठरवायला पुरेशी नाहीत, हे आपल्याला माहीत आहे. आता १३ बेरीज होणारी वयांची त्रिकुटे अनेक आहेत हे दिसतेच आहे. त्या शक्‍यतांची व्यवस्थित मोजणी करायला हवी. त्यासाठी ती त्रिकुटे उतरत्या क्रमाने पाहू.. म्हणजे सर्वांत मोठ्या मुलीचे वय आधी, मग क्रमाने इतर मुलींची वये... सर्वांत लहान वय शेवटी. आता सांगा सर्वांत मोठ्या मुलीचे वय जास्तीतजास्त किती असू शकेल?’ ‘दहा! म्हणजे इतरांची वये २ व १ असतील,’ सतीश म्हणाला. ‘पण ११ देखील असू शकेल. कारण धाकट्या दोघी जुळ्या, एक वर्षाच्या असू शकतात,’ शीतल म्हणाली. ‘शाबास! अशा सगळ्या शक्‍यता विचारात घेतल्या पाहिजेत. शिवाय या तीन संख्यांचा गुणाकार ११ आहे याचीही नोंद करा. म्हणजे ११, १, १ हे त्रिकूट आणि ११ हा गुणाकार. मग १०, २, १ हे त्रिकूट आणि त्याचा २० हा गुणाकार. याप्रमाणे टेबल किंवा सारणी तयार करा. थोडा वेळ लागेल, पण सोपे आहे,’ बाई म्हणाल्या. 

‘नंतरचे त्रिकूट ९ ने सुरू करायचे ना?’ हर्षाने विचारले. ‘हो, पण इथे दोन शक्‍यता आहेत, हे ध्यानात घ्या. ९, ३, १ ही आणि ९, २, २ अशा दोन्ही शक्‍यता ध्यानात घ्या. मग टेबल पूर्ण करा. यात मोठ्या मुलीचे वय कमीत कमी किती असेल सांगा बरे!’ बाईंच्या या प्रश्‍नाला सतीशने उत्तर दिले, ‘पाचपेक्षा ते कमी नसणार, कारण ते ४ असेल, तर इतर वये ४ पेक्षा मोठी नाहीत, मग बेरीज १३ पेक्षा कमी येईल.’ ‘शाबास, म्हणजे एकूण ५ ने सुरू होणाऱ्या त्रिकुटापर्यंतच टेबल किंवा सारणी बनवायची आहे ती पूर्ण करा.’ बाईंच्या सूचनेवर मुलांनी थोड्याच वेळात सारणी पूर्ण केली. 

‘या सारणीचे निरीक्षण करून काय ध्यानात आले? गुणाकार ११ असेल, तर वयांचे त्रिकूट कोणते असेल?’ असे बाईंनी विचारले. ‘हे सोपे आहे! गुणाकार ११ असेल, तर वये ११, १, १ अशीच असणार!’ नंदू म्हणाला. ‘आता आणखी निरीक्षण करून सांगा, की ‘माहिती पुरेशी नाही?’ असे विक्रेता का म्हणाला असेल?’ बाईंचा प्रश्‍न आला. शीतलने कारण शोधले. ती म्हणाली, ‘इथे ३६ हा गुणाकार दोन त्रिकुटांचा आहे. इतर गुणाकार एका एकाच त्रिकुटाचे आहेत. म्हणजे घर नंबर ३६ होता आणि म्हणून जास्त माहिती आवश्‍यक होती.’ 

‘शाबास! बरोबर तर्क केलास! मग गृहिणीने दिलेली माहिती कशी वापरली असेल? तिने माहिती दिली, की सर्वांत मोठी मुलगी पेटी चांगली वाजवते,’ बाईंनी उत्तर शोधायला उत्तेजन दिले. ‘९, २, २ आणि ६, ६, १ या दोन पर्यायांमध्ये एकाच पर्यायात सर्वांत मोठी मुलगी आहे. ६, ६, १ मध्ये दोन मुली मोठ्या आहेत. म्हणून ९, २, २ हाच पर्याय बरोबर ठरला. म्हणजे खरोखर पेटी वाजवण्याचा कोड्याशी संबंध नाहीये,’ सतीश म्हणाला. 

‘बरोबर! तरी ९ वर्षांची मुलगी पेटी वाजवू शकते हे खरे आहे. पाहा, थोडा तर्कशुद्ध विचार आणि चिकाटी दाखवून अवघड वाटणारे कोडे सोडवता आले की नाही?’ मालतीबाई म्हणाल्या.

संबंधित बातम्या