आकडेमोडीशिवाय गणित 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 21 फेब्रुवारी 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘गणितात आकडेमोड असावीच लागते का? अगदी कमी आकडेमोडीचे गणित असते का?’ आल्या आल्या नंदूने विचारले. ‘साधारणपणे गणितात थोडी आकडेमोड असते. पण आकडेमोडीपेक्षा तार्किक विचार जास्त महत्त्वाचा असतो. आपण असा तार्किक विचार असणारी कोडी पाहू या का?’ बाईंचा विचार सगळ्यांना आवडला. 

‘आता हे कोडे पाहा. एका राजाला प्रधान म्हणून एक हुशार माणूस नेमायचा होता. सगळ्या परीक्षांमध्ये पास होऊन त्याच्याकडे तीन तरुण आले. त्याने त्या तिघांना एकमेकांकडे तोंड करून साधारण वर्तुळात उभे केले. मग प्रत्येकाजवळ लाल आणि पांढऱ्या गंधाच्या वाट्या नेल्या. त्यांना डोळे मिटायला सांगून प्रत्येकाच्या कपाळावर दोन्हीपैकी एका रंगाचे गंध राजाच्या नोकराने रेखले. मग उमेदवारांनी डोळे उघडले, तेव्हा प्रत्येकाला इतर दोघांचे गंध दिसत होते. राजा म्हणाला, ‘तुमच्यापैकी जर एखाद्याला दुसऱ्या कोणाच्याही कपाळावर लाल गंध दिसले, तर त्याने हात वर करा.’ राजाने असे सांगताच प्रत्येकाने हात वर केला. त्यानंतर ‘तुम्हाला कोणालाही स्वतःचे गंध पाहता येत नाही, तरी स्वतःचे गंध कोणते आहे, लाल की पांढरे, हे ओळखता येईल का?’ हा प्रश्‍न त्यांनी ऐकला. प्रथम कोणी काही बोलले नाही..’ बाईंची गोष्ट ऐकून मुले चक्रावली. 

नंदू म्हणाला, ‘कुणालाच आपले स्वतःचे गंध कोणते आहे हे पाहता येत नाही किंवा विचारता येत नाही, मग ते कसे समजणार?’ ‘इथे तर्कशुद्ध विचाराची गरज आहे. गणितात उत्तर शोधताना अनेक पर्याय असले, तर कोणते पर्याय चुकीच्या निष्कर्षाकडे नेतात, ते त्याज्य ठरवायचे आणि हळूहळू योग्य पर्यायाकडे जायचे असते. इथे याचे उत्तम उदाहरण आहे. जरा प्रयत्न करा...’ बाई सांगत होत्या, ‘थोड्या वेळात एक तरुण म्हणाला, ‘माझ्या कपाळावर लाल गंध आहे.’ त्याचे म्हणणे बरोबर होते आणि तो सर्वांत हुशार ठरला. वास्तविक, प्रत्येकाच्या कपाळावर लाल गंधच होते पण एकाला ते सर्वांत लवकर ओळखता आले. कसे ते सांगू शकता का?’ बाईंनी सर्वांना पुन्हा कोड्यात टाकले. 

मुले विचार करू लागली. शीतल मोठी आहे, तिने विचारले, ‘त्या माणसाने आपल्या कपाळावर लाल गंध असेल तर काय झाले असते आणि पांढरे गंध असेल तर काय झाले असते हे दोनही पर्याय विचारात घेतले ना?’ ‘अगदी बरोबर आणि त्यातून लाल गंधाचा अंदाज बरोबर ठरतो हे त्याच्या लक्षात आले,’ बाई म्हणाल्या. ‘आमच्या नाही लक्षात येत त्याचे विचार. आजी तूच समजाव ना!’ नंदूने विनंती केली तेव्हा मालतीबाई पायरी पायरीने समजावू लागल्या... ‘त्यांची नावे ठरवू म्हणजे सोपे जाईल जरा. अ, ब आणि क अशी नावे देऊया. ‘अ’ला आधी उत्तर आले. त्याने असा विचार केला. जर ‘अ’च्या म्हणजे त्याच्या स्वतःच्या कपाळावर पांढरे गंध असते, तर काय झाले असते? प्रत्येकाला दुसऱ्या कोणाचे तरी लाल गंध दिसणारच होते. कारण त्याने ‘ब’ आणि ‘क’ची लाल गंधे पाहिली होतीच. पण मग दुसऱ्या दोघांना प्रत्येकी एक लाल व एक पांढरे गंध दिसले असते. मग त्या दोघांनी काय विचार केला असता, तो याने केला. ‘ब’ला ‘अ’चे पांढरे आणि ‘क’चे लाल गंध दिसले असते, मग ‘ब’च्या कपाळावर पांढरे गंध असते, तर ‘क’ला दोन्ही पांढरी गंधे दिसली असती, त्याने हात वर केला नसता. असा विचार ‘ब’ने केला असता आणि त्याचे स्वतःचे गंध पांढरे नसून लाल आहे हे त्याने लवकर ओळखले असते. तसाच विचार ‘क’देखील करू शकला असता पण तसे घडले नाही. म्हणजे पहिले गृहीतक - ‘अ’चे गंध पांढरे असणे, हे चूक आहे. उलट जर त्याचे गंध लाल असेल, तर प्रत्येक जण आधी हात वर करणार होताच, शिवाय स्वतःचे गंध ओळखायला जरा वेळ लागणार होता.’ 

‘बाप रे! केवढा हा विचार! ही जरतारी भाषा किचकट आहे बुवा!’ नंदू म्हणाला. ‘शिवाय त्याने असेही पाहिले, की त्याचे गंध पांढरे असले, तर विसंगती किंवा कॉन्ट्रॅडिक्‍शन मिळते तशी लाल गंधाने मिळत नाही. म्हणून तो पर्याय निवडला,’ शीतलने निरीक्षण नोंदवले. ‘बरोबर.. असा तर्कशुद्ध विचार गणितात फार महत्त्वाचा असतो,’ इति मालतीबाई.

संबंधित बातम्या