सम प्रमाणाच्या गमती 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 31 जानेवारी 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘गेल्या वेळेच्या विनोदाची गंमत समजली का?’ शीतलने विचारले. नंदूच्या काही लक्षात आलेले दिसले नाही. ‘काय चुकले त्या मुलीचे? आठऐवजी चार लोकांसाठी भाजी शिजवली, तर बरोबर अर्ध्या मापाची भाजी, तिखट, मीठ, मसालादेखील अर्धे घेतले तर बरोबरच आहे ना?’ त्याने विचारले. ‘पण भाजी शिजायला वेळदेखील अर्धाच पुरे असेल का?’ शीतलने विचारले. ‘ते मात्र आपल्याला ठाऊक नाही!’ असे म्हणून तो गप्प बसला. मालतीबाई म्हणाल्या, ‘भाजी शिजायला लागणारा वेळ हा काही भाजीच्या प्रमाणात असेल असे नाही. बिचारीची भाजी बहुधा अर्धीकच्ची राहिली असेल. दोन वाट्या तांदुळाचा भात शिजायला जेवढा वेळ लागतो, त्याच्या अर्ध्या वेळात एक वाटी तांदुळाचा भात शिजत नाही.’ 

‘बरे, गेल्या वेळेला मी विचारले होते की दोन संख्या नेहमी बरोबर वाढत किंवा कमी होत असल्या, तर त्या सम प्रमाणात असल्याच पाहिजेत का? यावर विचार केलात का?’ बाईंनी पुढे विचारले. ‘बहुतेक वेळा तसे दिसते. मुलांची संख्या आणि त्यांना वाटायची चॉकलेटे, पेन्सिली आणि त्यांची किंमत, पेट्रोल आणि त्यात झालेले प्रवासाचे अंतर या सगळ्या सम प्रमाणात वाढणाऱ्या जोड्याच आहेत,’ सतीशचे निरीक्षण होते. ‘पण मुलाचे आणि त्याच्या आईचे वय बरोबर वाढले, तरी ते सम प्रमाणात वाढत नाही,’ शीतल म्हणाली. ‘शाबास! छान उदाहरण दिलेस. शिवाय तुम्हाला वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र माहीत आहे ना, काय आहे ते?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून सतीश म्हणाला, ‘त्रिज्या र असेल, तर वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = २२/७ र२ असे सूत्र आहे.’ ‘म्हणजे त्रिज्या वाढली की क्षेत्रफळ वाढते, पण दोन्ही सम प्रमाणात नाहीत. त्रिज्या दुप्पट झाली, तर क्षेत्रफळ चौपट होते. दोन संख्या सम प्रमाणात आहेत हे त्यांचा भागाकार पाहून ठरवतात. त्यांचा भागाकार स्थिर किंवा कॉन्स्टंट असेल, तर त्या संख्या सम प्रमाणात असतात हे लक्षात ठेवा. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ त्रिज्येच्या वर्गाच्या सम प्रमाणात असते. म्हणजे वर्तुळाच्या त्रिज्येचा वर्ग आणि क्षेत्रफळ सम प्रमाणात असतात किंवा त्यांचे गुणोत्तर स्थिर असते. मुलांना चॉकलेट किंवा पेन्सिली वाटताना, पेन्सिली आणि त्यांची एकूण किंमत काढताना त्या संख्या सम प्रमाणात असतात. भागाकार स्थिर असतो. त्यावरून कितीही पेन्सिलींची किंमत काढता येते,’ बाईंनी सम प्रमाण कसे ओळखायचे ते सांगितले. 

‘आता व्यस्त प्रमाणदेखील समजावून सांगता का? ते अवघड वाटते आम्हाला,’ सतीश म्हणाला. 

‘आपण जरूर पाहू या व्यस्त प्रमाण. दोन संख्या व्यस्त प्रमाणात आहेत कसं ठरवतात? जर त्यांचा गुणाकार स्थिर असेल, तर त्या व्यस्त प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. कारण त्यातली एक जर दुप्पट झाली, तर दुसरी निम्मी होते; एक तिप्पट झाली, तर दुसरी एक तृतीयांश होते. उदाहरणे पाहिली, की हे स्पष्ट होईल. समजा एक काम आहे, जरा कष्टाचं किंवा वेळखाऊ असे काम आहे. एक माणूस ते करतो, तेव्हा त्याला चार दिवस लागतात पण दोन माणसे ते करू लागली, तर दोन दिवसात होईल, नाही का? आणि चार माणसे लावली तर एका दिवसात पुरे होईल. इथे काम करणारी माणसे आणि त्यांना ते काम करायला लागणारा वेळ यांचा गुणाकार ४ म्हणजे स्थिर संख्या आहे. तेव्हा माणसांची संख्या आणि कामाला लागणारा वेळ हे व्यस्त प्रमाणात आहेत असे म्हणतात. पूर्वी अशा उदाहरणांना ‘काळ-काम-वेग यांची गणिते’ असे म्हणत. कारण बहुधा यात कामाला लावलेली माणसे किंवा त्यांचा वेग आणि कामाला लागलेला वेळ यांचे ते गणित असे. हौदाच्या तीन तोट्या सोडल्या, तर हौद  ६० मिनिटांत रिकामा होतो, दोन तोट्या सोडल्या, तर तो रिकामा व्हायला किती वेळ लागेल? हे गणित तसलेच आहे,’ बाईंचे म्हणणे ऐकून हर्षा म्हणाली, ‘म्हणजे हौदाच्या तोट्या हे काम करणारे मजूर समजायचे, त्यांचे काम हौद रिकामा करण्याचे आहे असे समजायचे होय ना?’ बाई म्हणाल्या, ‘अगदी बरोबर. गोंधळ होऊ नये म्हणून अशी गणिते सोडवताना, अनेकांवरून एकाचे आणि एकावरून अनेकांचे काम किती वेळात होते, ते पाहावे. तीन तोट्या सोडल्या, तर ६० मिनिटे, तर एक तोटी सोडून १८० मिनिटे किंवा तीन तास काम पूर्ण करायला लागतील. मग त्यावरून दोन तोट्या सोडल्यास दीड तास किंवा ९० मिनिटे लागतील हे समजते किंवा तोट्यांची संख्या आणि लागणारी मिनिटे यांचा गुणाकार १८०, हा स्थिर आहे हे ध्यानात घेऊन समीकरण मांडायचे. दोन तोट्या सोडल्या, तर म मिनिटे लागत असतील तर १८० = २म. साधारणपणे अशा गणितात काम ठरलेले असते, त्यावरून स्थिरांक मिळतो, मजुरांची संख्या किंवा वेग बदलतो, तसा कामाचा काळ बदलतो.’ ‘मोटारीने प्रवास करताना वेग वाढवला, तर लागणारा वेळ कमी होतो, वेग कमी केला, तर वेळ वाढतो, म्हणून वेग आणि लागणारा वेळ हे व्यस्त प्रमाणात आहेत ना?’ सतीशने विचारले. ‘होय, इथे मोटारचा वेग आणि लागणारा वेळ यांचा गुणाकार म्हणजे प्रवासाचे एकूण अंतर हे स्थिर आहे म्हणजेच करायचे काम ठरलेले आहे हे ध्यानात घ्या,’ बाई म्हणाल्या. 

‘कधी कधी ठराविक चारा किती जनावरांना किंवा शिधा किती माणसांना किती दिवस पुरेल हे मोजायचे असते. ठराविक शिधा हा स्थिर असतो, जास्त लोकांना तो कमी दिवस पुरतो. तिथेही अनेकांवरून एकाला किती दिवस पुरेल व त्यावरून अनेकांना किती दिवस पुरेल हे काढावे किंवा समीकरण मांडून विचारलेल्या माणसांना दिवसांची संख्या किंवा दिवस दिले असले तर माणसांची संख्या काढता येते,’ बाईंनी स्पष्टीकरण दिले. 

संबंधित बातम्या