वाढता वाढता वाढे 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 3 जानेवारी 2019

गणित भेट
गणित सोडवण्याच्या सोप्या युक्ती तुम्ही गेल्या वर्षी शिकलात, पण गणित एका वर्षात शिकून होईल? नवीन वर्षात गणित सोडवण्याच्या आणखी काही युक्त्या शिकूया...
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज आणखी वाढत जाणाऱ्या संख्यांच्या मजा सांगणार आहात ना?’ हर्षाने विचारले. ‘होय. गेल्या वेळी आपण अंकगणिती श्रेणी आणि भूमिती श्रेणी पाहिल्या. आठवतात ना?’ मालतीबाईंनी विचारले. ‘१००, २००, ३००... अशी वाढत जाणारी श्रेणी किंवा सिक्वेन्स अंकगणिती श्रेणी असते, तर १, २, ४, ८... अशी वाढत जाणारी श्रेणी भूमिती श्रेणी असते,’ सतीश म्हणाला. ‘आपण रमी खेळतो, तेव्हा पत्त्यांचा सिक्वेन्स लावतो, दुर्री तिर्री, चव्वी असा किंवा राजा, राणी, गुलाम असा.. त्या अंकगणिती श्रेणी असतात ना?’ नंदूने विचारले. ‘बरोबर, छान उदाहरण दिलेस. यात प्रत्येक पत्त्याची किंमत एकाने वाढत किंवा कमी होत जाते,’ बाईंनी नंदूला शाबासकी दिली. ‘आपण त्या नियमात बदल करून दोनने वाढणारा किंवा कमी होणारा सिक्वेंस करू शकतो. म्हणजे २, ४, ६ किंवा १०, ८, ६, ४ अशा पत्त्यांचा सिक्वेन्स लावायचा,’ हर्षाने सुचवले. ‘पण नेहमी पत्ते खेळणाऱ्या लोकांना ते मान्य होणार नाही,’ इति सतीश. 

‘गेल्या वेळी पाहिलेल्या श्रेणी अमर्याद वाढत जाणाऱ्या होत्या. तुम्ही आज वेगळी उदाहरणे देणार आहात ना?’ शीतलने विचारले. ‘होय. समजा, एक गोगलगाय रोज ठराविक अंतर चालते. पहिल्या दिवशी एक मीटर, दुसऱ्या दिवशी अर्धा मीटर, तिसऱ्या दिवशी पाव मीटर, चौथ्या दिवशी १/८ मीटर याप्रमाणे ती एका दिशेने चालत गेली, तर किती लांब जाईल?’ बाईंनी विचारले. मुले जरा विचार करू लागली. ‘गोगलगायीने चाललेले एकूण अंतर अमर्याद वाढत जाईल असे वाटते,’ हर्षाला वाटले. ‘असे वाटते आपल्याला, पण ते खरे नाही. गोगलगायीचे एकूण चालणे मोजले, तर ते दोन मीटरपेक्षा जास्त होणार नाही,’ बाईंचे बोलणे ऐकून सतीश म्हणाला, ‘हे खरे वाटत नाही. एक तर गोगलगायीचे एकूण चालणे ही अमर्याद श्रेणी आहे आणि तिची बेरीज कशी करणार?’ ‘आधी आपण १०० दिवसांच्या चालण्याची बेरीज करून पाहू. भूमिती श्रेणीचे गुणोत्तर, म्हणजे प्रत्येक पदाचे आधीच्या पदाशी गुणोत्तर r असेल आणि पहिले पद १ असेल तर ती बेरीज अशी करता येते,’ असे म्हणून बाईंनी समीकरणे लिहून दाखवली. (कृपया शेजारील चौकट पहा.) ‘इथे r हा १ नाही हे गृहीत धरायला पाहिजे...’ त्या पुढे समजावू लागल्या. ‘आता दिवसांची संख्या अमर्याद वाढवत नेली, तरी एकूण बेरीज दोनपेक्षा जास्त होत नाही हे समजले ना? दिवस अमर्याद वाढले, तर ती बेरीज दोन होते असे मानतात,’ मुले चकित झालेली दिसली. 

शीतलने विचारले, ‘म्हणजे आपण अशी अमर्याद बेरीज करताना प्रत्येक पद सतत लहान लहान होत गेले, तर बेरीज मर्यादित किंवा सात होते असे म्हणू शकतो का?’ ‘तुझे निरीक्षण चांगले आहे, पण निष्कर्ष बरोबर नाही. अशाही अनंत श्रेणी आहेत, ज्यांचे पद क्रमाने लहान होत अगदी शून्याजवळ जाते, पण सगळ्या पदांची बेरीज मात्र अमर्याद मोठी होते किंवा अनंताकडे जाते. उदाहरणार्थ १ + १/२ + १/३ + १/४ + ... या श्रेणीची पदे लहान लहान होत शून्याजवळ जातात पण सर्व पदांची बेरीज मात्र मोठी मोठी होत अनंताकडे जाते, म्हणजे अमर्याद वाढत राहते. याची सिद्धता खूप वरच्या वर्गातले विद्यार्थी शिकतात,’ बाई म्हणाल्या. ‘गणित विषयात असे सरप्राईज देणाऱ्या मजेदार गोष्टी आहेत तर!’ शीतल म्हणाली. पण नंदूचे मत वेगळे होते, ‘तर या गोष्टी, चक्रावून टाकणाऱ्या वाटतात.’

संबंधित बातम्या