वाढत जाणाऱ्या संख्या

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 27 डिसेंबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज तुम्हाला एक गोष्ट सांगते.’ मालतीबाई सुरुवातीला म्हणाल्या. नंदू लगेच उद्‌गारला, ‘पण तुझी गोष्ट गणिताशी संबंधित असेल होय ना?’ त्या हसून म्हणाल्या, ‘होय बाबा! तुला थोडा विचारही करावा लागेल... पण मजा येईल तो करताना!’ 

शीतल म्हणाली, ‘छानच आहे की! आता आपण ऐकू या ती गोष्ट!’ बाईंनी गोष्ट चालू केली.

‘एका राजाच्या मुलाला पोहायला आणि गाडी चालवायला शिकवण्यासाठी दोन शिक्षक हवे होते. राजपुत्राला दोनही कला १५ दिवसात शिकता येतील असं समजलं होतं. त्याप्रमाणे पोहायला शिकवणारा कार्तिक आणि गाडी चालवायला शिकवणारा गणेश अशा दोन उत्तम शिक्षकांना आमंत्रण गेले. दोघेही दरबारात आले. राजाने दोघांना त्या कला १५ दिवसात शिकवता येतील याची खात्री करून घेतली आणि त्यांना काय गुरुदक्षिणा द्यायची ते विचारले. कार्तिक म्हणाला, ‘मला पहिल्या दिवशी १०० रुपये, नंतर प्रत्येक दिवशी त्यात १०० रुपयांची वाढ हवी.’ गणेश म्हणाला, ‘त्याला पहिल्या दिवशी फक्त एक रुपया द्यावा आणि नंतर प्रत्येक दिवशी आदल्या दिवसाच्या गुरुदक्षिणेच्या दुप्पट दक्षिणा द्यावी.’ राजाने ते कबूल केलं.

नंदू म्हणाला, ‘म्हणजे कार्तिकने जास्त फी सांगितली तर!’. बाई म्हणाल्या, ‘राजालाही तसंच वाटलं प्रथम. पण त्याचा प्रधान बिरबलासारखा हुशार होता, तो म्हणाला, आपण जरा तपासून पहायला पाहिजे. 

शिकवणी  दिवसांच्या ऐवजी महिनाभराची ठेवली, तर महाराज, ते आपल्याला परवडणार नाही. तुम्ही तपासा बरं प्रधानाचं गणित!’ 

‘वाटलंच होतं मला, की आजी थोडं तरी गणित केल्याशिवाय सोडणार नाही.’ नंदू म्हणाला. ‘पण हे तर सोपं गणित आहे की. कार्तिक पहिल्या महिन्यात १००, दुसऱ्या महिन्यात २००, तिसऱ्या महिन्यात ३०० असे रुपये घेणार, पंधराव्या महिन्यात तो १५०० रुपये घेणार.’ हर्षा म्हणाली.

‘बरोबर आता १००+२००+३०० असं करत एकूण १५ दिवसात कार्तिक किती रुपये मिळवेल?’ बाईंचा प्रश्न आला. 

‘या बेरजेचं सूत्र वापरून बेरीज येते १५०० गुणिले ८ म्हणजे १२००० रुपये.’ सतीश म्हणाला. ‘शाबास! सूत्र माहीत नसेल , तरी १००+२००+३००+ ...... +१५०० ही पंधरा संख्यांची बेरीज करताना पहिली व शेवटची, दुसरी व शेवटून दुसरी , तिसरी व शेवटून तिसरी, अशा सात जोड्या प्रत्येकी १६०० रुपयांच्या आणि मधले ८०० रुपये असे मिळून १२००० रुपये होतात. आता गणेशने किती रुपये १५ दिवसात मिळवले पहा. पहिल्या दिवशी फक्त १, दुसऱ्या दिवशी २, तिसऱ्या दिवशी ४, असं करत सहाव्या दिवशी ३२ आणि अकराव्या दिवशी १०२४ रुपये होतात ना? बाईंनी लक्षात आणून दिले. ‘बरोबर आणि अकराव्या दिवशी कार्तिक ११०० रुपये मिळवणार. पण बाराव्या दिवशी कार्तिक फक्त १२००, तर गणेश २०४८ रुपये मिळवेल. म्हणजे बाराव्या दिवशीदेखील गणेश कार्तिकच्या एकूण फीपेक्षा जास्त मिळवेल. पंधराव्या दिवशी तर तो १६,३६४ रुपये मिळवेल.’ शीतल म्हणाली. 

ती पुढे सांगू लागली, ‘आम्हाला शाळेत अंकगणित श्रेणी आणि भूमिती श्रेणी शिकवल्या आहेत. कार्तिकचा पगार अंकगणित श्रेणीत वाढतो, तर गणेशचा भूमिती श्रेणीत वाढतो. भूमिती श्रेणी ही फार झपाट्याने वाढते.

‘होय! १००, २००, ३००, ४००, ५०० ... यांची श्रेणी अंकगणित श्रेणी आहे, यातल्या संख्यांमध्ये प्रत्येक वेळी आधीच्या संख्येत एक विशिष्ट संख्या मिळवली जाते. १, २, ४, ८,१६, ३२, ... ही भूमिती श्रेणी आहे, यात आधीच्या संख्येला विशिष्ट संख्येने गुणिले जाते. इथे २ ने गुणिले आहे. आता गणेशने ३० दिवस म्हणजे महिनाभर शिकवले, तर तिसाव्या दिवशी तो किती पगार घेणार हे सांगू शकाल?’ बाईंनी परत त्यांना विचार करायला प्रवृत्त केले.

शीतल म्हणाली, ‘आम्हाला घातांक शिकवले आहेत. २ X २ X २ X २ X २ ही संख्या २५ अशी लिहिता येते घातांक वापरून. तिसऱ्या दिवसाचा पगार ८ = २३, चौथ्या दिवसाचा १६ = २४, तर अकराव्या दिवसाचा पगार  १०२४ = २१० असा लिहिता येतो. मग पंधराव्या दिवसाचा पगार तिसाव्या दिवसाचा पगार हा १६,३८४ = २१४ इतका आहे, तर तिसाव्या दिवसाचा असेल १६,३८४  X १६,३८४ X २ = २२१ आता समजला प्रधान साहेबांचा शेरा!’ 

‘गणेशचा पगार,  वाढता वाढता वाढे भेदिले शून्यमंडळा असा खूप मोठा मोठा होत जातो आहे. तो कितीही मोठा होऊ शकेल ना?’ नंदूने विचारले. ‘होय, गणेशचा पगार किती वाढू शकेल याला मर्यादा नाही.

बाई म्हणाल्या. ‘या मोठ्या होत जाणाऱ्या संख्यांची श्रेणी असेल, तर तिच्यातल्या संख्या अशाच सीमेशिवाय, प्रचंड वाढत जातात का?’ सतीशने विचारले. ‘तसं म्हणता येत नाही. पुढच्या वेळेला मी अशाच आणखी श्रेणींच्या बद्दल गमती सांगेन.’ असं म्हणून बाईंनी निरोप दिला.

संबंधित बातम्या