आकडेमोडींशिवाय गणित 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 3 ऑगस्ट 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

गणितात नेहमी किचकट आकडेमोडी असतात का? मला त्यांचा कंटाळा येतो,’ नंदूने सुरुवातीलाच निषेध प्रकट केला. ‘गणित म्हटलं, की थोडी आकडेमोड आलीच. पण कधी कधी सुंदर चित्रं असतात गणितात..’ बाईंचं बोलणं ऐकून नंदू आणि हर्षा खूष झाले आणि हर्षानं विचारलं, ‘तसलं गणित का शिकवत नाही तुम्ही?’ ‘आपण पाहू या तसलं गणित आज..’ असं बाईंचं बोलणं ऐकून नंदूनं विचारलं, ‘कागद आणि रंग आणू का?’ ‘आज मी माझ्याकडच्या रंगीत पेन्सिली देते, तुम्ही घरी गेल्यावर तुमचे रंग वापरा. आधी हे गणित कशाचा अभ्यास करतं ते पाहू. तुम्हाला संच किंवा सेट कसा असतो माहीत आहे का?’ बाईंनी विचारलं. ‘संच हा कोणत्या तरी वस्तूंचा समुदाय असतो ना?’ सतीशनं प्रतिप्रश्‍न केला. ‘होय, आणि त्या समुदायात कोणत्या वस्तू आहेत ते स्पष्टपणे माहीत असायला हवं, तरच तो संच व्यवस्थित  दिला आहे किंवा त्याची व्याख्या दिली आहे असं म्हणतात. उदाहरणार्थ या खोलीतील माणसांचा संच असं म्हटलं तर तुम्हाला स्पष्ट होतंय ना की या संचात कोण कोण आहे, कोण नाही ते?’ बाईंच्या प्रश्‍नावर हर्षा म्हणाली, ‘ते तर अगदी स्पष्ट आहे. आम्ही चौघं मुलं आणि तुम्ही एवढेच या संचात आहेत. खोलीबाहेरील माणसं यात असणार नाहीत.’ 

‘शाबास, संचात कोणते घटक आहेत, कोणते नाहीत ते स्पष्ट असलं पाहिजे. आता आनंदा, तुमच्या वर्गात क्रिकेट आणि कबड्डी हे खेळ खेळतात का?’ बाईंनी विचारलं. नंदूनं उत्साहानं, ‘हो, हो, मला दोन्ही खेळता येतात. प्रत्येकानं खेळाच्या तासाला खेळ खेळावंच लागतं.’ ‘आपण असं समजू की प्रत्येक विद्यार्थी क्रिकेट किंवा कबड्डी यातला एक तरी खेळ खेळतो. काही जण तुझ्यासारखे  दोनही खेळ खेळतात ना?’ बाईंच्या प्रश्‍नावर त्यानं मान डोलावली. 

बाई पुढं बोलू लागल्या, ‘आता क्रिकेट खेळणारे विद्यार्थी किती आणि कबड्डी खेळणारे किती ते माहीत आहे का?’ नंदू म्हणाला, ‘क्रिकेट खेळणारे ३५ आहेत आणि कबड्डी खेळणारे ४० आहेत.’ ‘तर मग एकूण विद्यार्थी ७५ असतील का?’ बाईंचा प्रश्‍न आला. ‘नाही, पण जरा गोंधळ वाटतो आहे इथं, कारण एकूण विद्यार्थी तर फक्त ५५ आहेत.’ तो खरंच गोंधळलेला दिसला. बाईंनी समजावलं, ‘गोंधळ नाही इथं.. पण तुझ्याप्रमाणं दोन्ही खेळ खेळणारी मुलं क्रिकेट खेळणाऱ्या विद्यार्थ्यांत; तशीच कबड्डी खेळणाऱ्या विद्यार्थ्यांत अशी दोनदा मोजली गेली म्हणून उत्तर चुकलं. इथं संचगणित किंवा सेटथियरी मदतीला येते. आता मी चित्र काढते ते पाहा.. आपण क्रिकेट खेळणाऱ्यांच्या संचाला ‘क’ नाव देऊ आणि कबड्डी खेळणाऱ्यांच्या संचाला ‘ब’ नाव देऊ, आणि ते असं चित्रानं दाखवू..’ असं म्हणत त्यांनी चित्र काढलं. (वरील आकृती पहा.) 

‘हे दोन्ही भाग मिळून तुमच्या वर्गातले सगळे विद्यार्थी आहेत असं समजायचं. काही विद्यार्थी तुझ्यासारखे दोन्ही संचात आहेत हे लक्षात घ्या. आता सगळ्या विद्यार्थ्यांचे तीन भाग झाले आहेत. फक्त क्रिकेट खेळणारे, फक्त कबड्डी खेळणारे आणि दोन्ही खेळ खेळणारे. असे तीन भाग वेगवेगळे मोजले, तर कोणताही विद्यार्थी परत मोजला जाणार नाही आणि एकूण तीनही संचांची बेरीज वर्गातल्या एकूण विद्यार्थ्यांच्या एवढी असेल हे पटतंय का?’ चित्र नीट न्याहाळत सर्वांनी ते कबूल केलं. ‘आता दोन्ही खेळ खेळणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या माहीत आहे का तुला?’ असं विचारताच नंदू म्हणाला, ‘ते २० आहेत.’ ‘आता आपण मोजणी दोन प्रकारे करू शकतो. आधी म्हटल्याप्रमाणं दोनही खेळ खेळणाऱ्या विद्यार्थ्यांच्या संचाला ‘द’ नाव देऊन (ब - द) आणि (क - द) या संचांमधले विद्यार्थी मोजू. मग हे दोन संच आणि द या तीन संचांमधले विद्यार्थी मोजले, त्यांची बेरीज केली, की वर्गातले एकूण विद्यार्थी मिळतील. सतीश, तू कर बरं ही मोजणी.’ 

बाईंची सूचना ऐकताच सतीश सरसावला. तो मोजू लागला, ‘ब’ मध्ये क्रिकेट खेळणारे ३५ आहेत, पण त्यातले २० कबड्डी खेळतात म्हणून ३५-२०=१५ एवढे विद्यार्थी फक्त क्रिकेट खेळतात. तेवढी संख्या (ब - द) या संचात आहे. त्याचप्रमाणे ४०-२०=२० विद्यार्थी फक्त कबड्डी खेळतात. ती संख्या (क - द) ची आहे. या दोन संचात मिळून ३५ आणि ‘द’ संचात २० एवढ्यांची बेरीज ५५ होते.’ 

‘शाबास! आता वरील आकृती पुन्हा पाहा. त्यावरून हे तीनही संच मिळून वर्गातले सर्व विद्यार्थी मोजले जातात हे स्पष्ट होते. ‘क’ संचातले लाल रंगानं तर ‘ब’ संचातले निळ्या रंगानं दाखवले आहेत. रंगांचा मजेदार नियम असा, की लाल आणि निळा हे दोन रंग मिसळून जांभळा होतो, तर ‘द’ संचातले जांभळे झाले. हीच मोजणी आणखी एका रीतीनं करता येते. आपण आधी ‘क’ गटातले ३५ आणि ‘ब’ गटातले ४० यांची बेरीज केली, तेव्हा दोन्ही खेळ खेळणारे दोनदा मोजले गेले म्हणून एकदा वजा केले, की प्रत्येक जण एकदाच मोजला जाईल. म्हणजे ३५ + ४० = ७५ झाले, त्यातून २० वजा केले की ५५ मिळतात.’ बाईंचं म्हणणं सर्वांना पटलं. 

‘आकृतीवरून हे स्पष्टीकरण चटकन समजतं. संच किंवा सेट दाखवायला अशा आकृत्या जॉन वेन या गणितज्ञानं प्रथम काढल्या,’ बाई म्हणाल्या. सतीशला एकदम आठवलं, ‘अमेरिकन मारामाऱ्यांच्या सिनेमात जॉन वेन नावाचा धमाल ॲक्‍टर होता!’ ‘अरे, तो वेगळा, या गणिती माणसाचं नाव John Venn असं लिहितात. अमेरिकन नट याच नावाचा असला, तरी स्पेलिंग वेगळं आहे. वेनच्या अशा आकृत्यांमुळं संचगणित किंवा सेट थियरी समजायला, वापरायला सोपी झाली. दोनऐवजी तीन वेगवेगळे संच रंगवून दोन किंवा तीन संचात असणारे घटक कसे दाखवायचे, आणि मग मोजायचे, ते चित्र काढून पाहा,’ बाई म्हणाल्या.

संबंधित बातम्या