‘मसावि’चे महत्त्व 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 5 जुलै 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘लसावि आणि मसावि या दोन राक्षसांची ओळख होण्याआधी एखाद्या संख्येचे अवयव, गुणक, विभाजक किंवा इंग्रजीत फॅक्‍टर अथवा डिवायझर म्हणजे काय ते समजलं पाहिजे...’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘एका संख्येने दुसरीला भाग जात असेल, तर पहिली दुसरीचा गुणक किंवा अवयव असते. जसे ७ हा २१ चा अवयव किंवा विभाजक आहे. कारण सात त्रिक एकवीस, सातने एकवीसला भाग जातो,’ सतीश म्हणाला. 

‘बरोबर आहे. अवयव, गुणक, डिवायझर, फॅक्‍टर या सगळ्या शब्दांचा अर्थ एकच आहे. सात त्रिक एकवीस हे आपण अनेक प्रकारे सांगू शकतो. सात हा एकवीसचा विभाजक आहे, एकवीस हा सातच्या पाढ्यात येतो, एकवीस हा सातचा गुणित किंवा मल्टिपल आहे, एकवीस हा सातने विभाज्य आहे यातल्या प्रत्येक विधानाचा अर्थ एकच आहे. आता एखादी संख्या २, ३, ५ किंवा १० ची गुणित केव्हा असते म्हणजेच त्या संख्येचा २, ३, ५ किंवा १० हा विभाजक केव्हा असतो हे कसं ओळखायचं सांगा बरं!’ बाईंची आज्ञा येताच नंदू म्हणाला, ‘संख्येचा शेवटचा म्हणजे एकक स्थानचा अंक सम असेल, तर ती संख्या सम असते किंवा तिला दोनने भाग जातो. ०, २, ४, ६, ८ हे सम अंक आहेत. म्हणून ३६, ५४, १३० या संख्या सम आहेत किंवा त्यांना २ ने भाग जातो.’ ‘शेवटचा अंक ५ किंवा ० असेल तर संख्येला ५ ने भाग जातो. जसे ४५, ७०, २८५,’ हर्षाने सांगितले. सतीशने ३ हा विभाजक असण्याची कसोटी सांगितली, तो म्हणाला, ‘संख्येच्या सगळ्या अंकांची बेरीज करायची, तिला तीनने भाग गेला, तर संख्येला तीनने भाग जातो. जसे ४५३ च्या अंकांची बेरीज बारा आहे, बाराला तीनने भाग जातो, म्हणून ४५३ ला देखील तीनने भाग जातो.’ ‘दहाने भाग जातो का ते पाहणे अगदी सोपे, संख्येच्या शेवटी शून्य असेल तर तिला दहाने भाग जातो, जसे ३०, ७८० वगैरे,’ नंदूने सांगितले. 

‘शाबास! तुम्हाला १५ किंवा १६ पर्यंत पाढे येतात ना? दहाच्या आतले पाढे तर आवश्‍यकच असतात, पण १५, १६ पर्यंत पाढे पाठ करायला वेळ लागत नाही, त्यांचा खूप उपयोग होतो. आता मी तुम्हाला काही संख्या देते. प्रत्येकीचे सगळे अवयव सांगा. लिहूनच द्या चढत्या क्रमाने...’ असे म्हणून बाईंनी त्यांना या संख्या दिल्या - 
३०, २४, ३४, ३६, १९, ४८. 
मुलांनी त्यांचे अवयव लिहून दिले. 
३० साठी १, २, ३, ५, ६, १०, १५, ३०. 
२४ साठी १, २, ३, ४, ६, ८, १२, २४. 
३४ साठी १, २, १७, ३४. 
३६ साठी १, २, ३, ४, ६, ९, १२, १८, ३६. 
१९ साठी १, १९. 
४८ साठी १, २, ३, ४, ८, १२, १६, २४, ४८. 

‘या सगळ्यांमध्ये निरीक्षण करून काय दिसतं बरं?’ बाईंच्या प्रश्‍नाला सतीशने उत्तर दिले, ‘२४, ३० यांना प्रत्येकी आठ तर ३६, ४८ ना नऊ - नऊ म्हणजे बरेच अवयव आहेत; पण १९ ला फक्त दोनच अवयव आहेत.’ शीतल म्हणाली, ‘पण प्रत्येक संख्येला १ आणि ती संख्या असे दोन तरी अवयव असतातच!’ यावर बाईंनी सांगितले, ‘असे कमीत कमी म्हणजे फक्त दोन अवयव असणाऱ्या संख्यांना मूळ संख्या किंवा प्राइम नंबर म्हणतात. आता २४ आणि ३६ या दोन संख्यांचे अवयव तपासा आणि त्यांचे सामाईक म्हणजे कॉमन अवयव किंवा गुणक शोधा, त्यातला सर्वांत मोठा सांगा.’ 

हर्षाने आता उत्तर दिले, ‘१, २, ३, ४, ६ आणि १२ एवढे कॉमन फॅक्‍टर आहेत. त्यातला १२ सर्वांत मोठा आहे. त्यालाच HCF म्हणतात ना?’ ‘बरोबर, त्यालाच HCF किंवा मसावि म्हणतात,’ बाई म्हणाल्या. ‘मसावि म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक. HCF म्हणजे Highest Common Factor. अर्थ एकच आहे. याचा अनेकदा उपयोग होतो. आपण गेल्या वेळी एखादी वस्तू विकत घेताना तुलना करून कोणती वस्तू अधिक फायदेशीर आहे ते ठरवत होतो. वेगळ्या वजनाच्या आणि किमतीच्या पॅकिंगमधली वस्तू असली, तर कशी तुलना करायची ते पाहा. ४५० ग्रॅम जॅमची बाटली ६५ रुपयांना आणि ६०० ग्रॅम जॅमची बाटली ८० रुपयांना असेल, तर कोणती जास्त किफायतशीर आहे हे कसे ठरवणार?’ ‘या बाटलीची किंमत जास्त आहे हे ठीक आहे, पण तुलना कशी करायची?’ नंदूने विचारले. ‘इथे एकाच वजनाच्या जॅमची किंमत ठरवली पाहिजे,’ बाईंनी सूचना केली. ‘४५० आणि ६०० चा कॉमन फॅक्‍टर घेऊन करता येईल. प्रत्येकातल्या ५० ग्रॅम जॅमची किंमत काढता येते,’ शीतलने सुचवले. 

‘शाबास, चांगला विचार केलास. कोणताही कॉमन फॅक्‍टर किंवा सामाईक विभाजक न घेता मसावि घेतला, तर काम सोपे होते. इथे ५० ग्रॅम जॅमची किंमत काढायला ६५ ला ९ ने तर ८० ला १२ ने भागावे लागेल. ४५० आणि ६०० चा ५० हा सामाईक अवयव आहे,  हा मसावि आहे. १५० ग्रॅम जॅमची किंमत काढायला ६५ ला तीनने तर ८० ला चारने भागायचे. लहान बाटलीतल्या १५० ग्रॅम जॅमची किंमत २१ हून जास्त आहे, तर मोठ्या बाटलीतल्या १५० ग्रॅम जॅमची किंमत २० रुपये आहे,’ बाईंनी समजावले. ‘बहुतेक वेळा मोठ्या पॅकिंगमधली वस्तू थोडी स्वस्त असते. पण तपासून पाहिलेले बरे! पुढच्या वेळेला लसावि म्हणजे काय, तो कुठे उपयोगी पडतो ते सांगेन...’ असे म्हणून बाईंनी निरोप दिला.

संबंधित बातम्या