चोर ओळखा... 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 13 एप्रिल 2018

गणित भेट  
गणिताची भीती वाटते? ​छे! किती गमती असतात त्यात... 

‘आज फार आकडेमोड न करता काही मजेदार कोडी सोडवू या का?’ असं मालतीबाईंनी विचारलं तेव्हा मुलं खूष झाली. जोरात ‘होऽऽ होऽऽऽ’ उत्तर आलं. 

शीतल म्हणाली, ‘मी एक कोडं घालते. एका राजानं बारा सोनारांना प्रत्येकी तीस ग्रॅम वजनाची चांदीची नाणी करायला सांगितली. त्याप्रमाणं बारा नाणी त्याच्याकडं आली. त्यातला एक सोनार लबाड होता. त्यानं नाणं तीस ग्रॅमऐवजी २५ ग्रॅम वजनाचं तयार केलं, असं समजलं. सगळी नाणी एका डब्यात होती; दिसायला अगदी सारखी! त्यातलं हलकं नाणं ओळखायचं आहे. तराजू कमीत कमी वेळा वापरून हलकं नाणं कसं ओळखाल?’ नंदू म्हणाला, ‘प्रत्येक नाण्याचं वजन केलं, तर बारा वेळा तराजू वापरावा लागेल. पण अकरा वेळा वापरला तरी पुरे. पहिल्या अकरा नाण्यांत हलकं नाणं मिळालं नाही, तर उरलेलं हलकं असणार.’ ‘शाबास, म्हणजे तू तराजूचा वापर एकानं कमी केलास. याहून कमी करता येईल का?’ बाईंच्या प्रश्‍नाला हर्षानं उत्तरं दिलं, ‘तराजूच्या दोन्ही पारड्यात सहा - सहा नाणी ठेवली, तर कोणत्या सहा नाण्यांत हलकं नाणं आहे ते समजेल. मग त्या सहा नाण्यांत ते शोधायचं.’ 

शीतल म्हणाली, ‘बरोबर! मग किती वेळा तराजू वापरायचा?’ ‘त्या सहा नाण्यांचे तीन आणि तीन असे भाग करून कोणत्या तीनांत हलकं नाणं आहे ते समजेल, मग तिनातलं हलकं नाणं शोधायला एकदा तराजू वापरला तरी पुरे. कारण एकेक नाणं एकेका पारड्यात ठेवलं, की त्या दोन नाण्यांत हलकं असेल तर कळेल, ती दोन सारखी असली तर उरलेलं तिसरं नाणं हलकं असणार. म्हणजे एकूण तीन वेळा तराजू वापरायचा,’ सतीशनं पुढचं कोडं सोडवलं. ‘शाबास! फक्त तीन वेळा तराजू वापरून हे कोडं सोडवता येतं. त्याहून कमी वेळा वापरून उत्तर मिळेल का?’ बाईंनी विचारलं. ‘प्रत्येक पारड्यात चार चार नाणी ठेवली, तर कोणत्या चार नाण्यात हलकं नाणं आहे ते समजेल, पण चार नाण्यांतलं हलकं नाणं शोधायला दोन वेळा तराजू लागू शकेल,’ शीतल म्हणाली. 

‘वजनाचं पण जरा वेगळं कोडं पाहा. दहा सोनारांनी समान वजनाच्या शंभर शंभर नाण्यांच्या पिशव्या भरून दिल्या. प्रत्येक नाण्याचं वजन दहा ग्रॅम असायला हवं. पण एका लबाड सोनारानं प्रत्येक नाणं नऊ ग्रॅम वजनाचं केलं आहे. दिसायला सगळी नाणी अगदी समान आहेत. अचूक वजन करणारा इलेक्‍ट्रॉनिक वजन काटा आहे, तो एकदाच वापरून कमी वजनाच्या नाण्यांची पिशवी कोणती ते सांगता येईल का?’ बाईंचं कोडं ऐकून सगळे चक्रावले. ‘एकदाच वजन करायला मिळणार आणि त्यात दहापैकी कमी वजनाच्या नाण्यांची पिशवी शोधायची म्हणजे अशक्‍यच आहे!’ सतीश म्हणाला. बाकी सगळे त्याच्याशी सहमत झाले. ‘इथं वेगळा गणिती विचार करता येतो. नाण्यांच्या दहा पिशव्या ओळीनं ठेवून पहिल्या पिशवीतून एक नाणं, दुसऱ्या पिशवीतून दोन नाणी, तिसऱ्या पिशवीतून तीन नाणी अशी वाढीव नाणी उचलत जाऊन दहाव्या पिशवीतून दहा नाणी उचलली, तर एकूण किती नाणी उचलली?’ बाईंनी विचारलं. ‘आकडेमोड नको असं ठरलं होतं ना?’ नंदू कुरकुरला. ‘पण ही बेरीज सोपी आहे. एक ते दहा या संख्यांची बेरीज करायची. एक आणि दहा, दोन आणि नऊ, तीन आणि आठ अशा पाच जोड्यांची बेरीज अकरा पंचे पंचावन्न होते,’ शीतलनं समजावलं. ‘म्हणजे पंचावन्न नाणी आहेत, प्रत्येकाचं वजन दहा ग्रॅम अपेक्षित आहे, म्हणजे ते एकूण किती असायला हवं?’ बाईंच्या या प्रश्‍नाचं उत्तर हर्षानं ‘पाचशे पन्नास’ असं लगेच दिलं. ‘वजन काटा अचूक आहे ते माहीत आहे. आता पहिल्या पिशवीत हलकी नाणी असली, तर या पंचावन्न नाण्यांचं वजन किती कमी भरेल?’ बाईंनी विचारलं. ‘ते एक ग्रॅम कमी भरेल. कारण पहिल्या पिशवीतून एक नाणं घेतलं. दुसऱ्या पिशवीत हलकी नाणी असली, तर दोन ग्रॅम कमी भरेल. कारण दुसऱ्या पिशवीतून दोन नाणी घेतली. वजन किती कमी भरेल, यावरून कोणती पिशवी हलक्‍या नाण्यांची हे समजेल,’ शीतलचं म्हणणं हळूहळू इतरांना पटलं. ‘गणिती विचार आपलं काम सोपं करायला मदत करतो. म्हणून तर तो शिकला पाहिजे,’ बाई म्हणाल्या. सतीशनं विचारलं, ‘पण कोणती पिशवी हलक्‍या नाण्यांची हे समजल्यावर त्या पंचावन्न नाण्यांतून हलकी नाणी वेगळी काढायला मात्र बरेच वेळा वजन करायला हवं ना?’ बाईंनी हसून ते मान्य केलं. 

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या