खासियत विविध अपूर्णांकांची 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 5 एप्रिल 2018

गणित भेट

गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज दशांश अपूर्णांक आणि साधे व्यवहारी अपूर्णांक किंवा परिमेय संख्या यांच्यामधले भेदभाव पाहू या,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘आपण दशांश अपूर्णांक १५.३ असा लिहितो, तेव्हा पंधरा पूर्णांक तीन दशांश असा वाचतो. त्यात दशांश टिंबानंतर लिहिलेले तीन म्हणजे तीन दशांश हा अपूर्णांक असतो. अर्थात त्याचा छेद १० आहे. १५.३७ या संख्येत अपूर्णांकाचा भाग तीन दशांश अधिक सात शतांश म्हणजे सदतीस शतांश आहे. कारण आपल्या ‘गोल्डन रूल’प्रमाणे तीन दशांश म्हणजे तीस शतांश आहेत. एकूण दशांश अपूर्णांक लिहिताना छेद दहा, शंभर किंवा हजार असा दहाच्या पटीत असतो. म्हणून दशमान पद्धतीत असे अपूर्णांक लिहिले, की बेरीज वजाबाकी सोपी असते. पण गुणाकार भागाकार करताना व्यवहारी अपूर्णांक काम सोपं करतात; कसं ते पाहू - १.२४ आणि ६.२५ यांचा गुणाकार दोन्ही प्रकारांनी करू. सतीश, तू दशांश अपूर्णांकात कर आणि शीतल, तू व्यवहारी अपूर्णांकात करून दाखव.’ 

त्या दोघांनी गुणाकार करून दाखवले. ‘शीतलचा गुणाकार चटकन झाला, सोपा दिसतो आहे!’ नंदू म्हणाला. ‘हो, त्यात काय युक्ती वापरली सांगा?’ बाईंनी विचारले. हर्षा म्हणाली, ‘आपण अंश आणि छेद यातले कॉमन फॅक्‍टर काढून टाकले म्हणून त्या संख्या लहान झाल्या.’ ‘बरोबर! इथं आपण ‘गोल्डन रूल’ची दुसरी बाजू वापरली. अंश आणि छेद यांना एकाच संख्येनं गुणलं, तर अपूर्णांक बदलत नाही. त्याप्रमाणं त्यांच्यामधल्या समान गुणकांनी किंवा कॉमन फॅक्‍टरनी भागलं तरी अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही. याचा उपयोग केला,’ बाईंनी समजावलं. 

आता नंदू खूष झालेला दिसला. तो म्हणाला, ‘इथं आपण कॉमन फॅक्‍टर काटलं, म्हणून याला आपण ‘काटाकाटीचं गणित’ म्हणू या. मला आवडलं हे.’ ‘एखाद्या अपूर्णांकानं भागाकार करणं म्हणजे त्या अपूर्णांकाचा व्यस्त म्हणजे उलटा अपूर्णांक घेऊन त्यानं गुणणं हे तुम्हाला माहीत आहे ना? मग भागाकारदेखील ‘गोल्डन रूल’ वापरून अनेकदा सोपा करता येतो. उदाहरणार्थ ३२.४ ÷ .३६ हा भागाकार दशांश अपूर्णांकात करणं किचकट आहे, तो परिमेय संख्या वापरून असा करता येतो...’ असं म्हणून बाईंनी हा भागाकार केला.  

‘हा गुणाकार करताना अंश आणि छेद यांना दहानं, चारनं आणि नऊनं भागलं आहे, ते काटाकाटी करून दाखवलं आहे,’ बाईंचं म्हणणं सर्वांना पटलं. ‘पण काटाकाटीचं गणित करण्यासाठी अंश आणि छेद यातले कॉमन फॅक्‍टर शोधता आले पाहिजेत,’ शीतलनं लक्षात आणून दिलं. ‘अगदी बरोबर आहे तुझं! त्यासाठी दिलेल्या संख्येचे गुणक किंवा फॅक्‍टर शोधण्याच्या युक्‍त्या म्हणजे कसोट्या लक्षात ठेवायला हव्यात. सांगा पाहू कोणत्या कसोट्या आठवतात ते! कसोट्यांची उदाहरणंसुद्धा द्या..’ बाईंनी आव्हान दिलं. 

हर्षा म्हणाली, ‘दोनानं किंवा पाचानं भाग केव्हा जातो ते ओळखणं सोपं आहे. शेवटचा अंक सम असेल, तरच संख्येला दोननं भाग जातो. १८, ३५६ या संख्यांना दोननं भाग जातो. शेवटचा अंक पाच किंवा शून्य असेल तरच संख्येला पाचनं भाग जातो. ३५, ६०  यांच्याप्रमाणं..’ सतीशला आठवलं, ‘संख्येच्या सगळ्या अंकांची बेरीज करायची, त्या बेरजेला जर तीननं भाग गेला, तर संख्येला तीननं भाग जातो. ३९, ८७, २६१ यांच्यासारखा.’ ‘नवानं भाग जातो का ते पाहण्यासाठी तशीच युक्ती आहे. संख्येच्या अंकांची बेरीज करायची, बेरजेला नवानं भाग गेला, तर संख्येलाही नवानं भाग जातो. ६४, ६३, ९१८ ही उदाहरणं पाहा,’ शीतलनं सांगितलं. ‘दहानं भाग जातो का ते पाहणं अगदी सोपं आहे. शेवटचा म्हणजे एककाचा अंक शून्य असेल, तर दहानं भाग जातो. २०, ३०, ७० या संख्या पाहा..’ नंदूलाही आठवलं. 

‘सात, अकरा या संख्यांनी भाग जातो का हे सांगता येतं का?’ सतीशनं विचारलं. 

‘त्यासाठीदेखील कसोट्या आहेत, पण लक्षात ठेवायला एवढ्या सोप्या नाहीत. दिलेली संख्या तिचा एकक वेगळा करून १०x + y अशी लिहा. इथं y हा एकक आहे. मग x + ५y ला सातनं भाग गेला, तरच १०x + y ला सातनं भाग जातो. उदाहरणार्थ २५२ ला सातनं भाग जातो. ५१२ ला जात नाही. अकरानं भाग जातो का पाहण्यासाठी एका आड एक अंकांची बेरीज करा, अशा दोन बेरजांच्या वजाबाकीला अकरानं भाग गेला, तरच मूळ संख्येलाही अकरानं भाग जातो. उदाहरणार्थ २५१९ ला ११ नं भाग जातो, ३६१८ ला जात नाही. तुम्ही या कसोट्या लक्षात नाही ठेवल्या तरी चालेल,’ असं सांगून बाईंनी मुलांना दिलासा दिला.

संबंधित बातम्या