अपूर्णांक म्हणजे काय? 

मंगला नारळीकर
बुधवार, 21 मार्च 2018

गणित भेट

गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘अाजी, आज अपूर्णांक शिकवणार आहेस ना?’ नंदूने विचारले. ‘हो,’ मालतीबाई म्हणाल्या, ‘तुम्हाला एका वस्तूचा अर्धा भाग म्हणजे काय ते समजतं ना?’ ‘हो, एखादा खाऊ आम्ही दोघं न भांडता अर्धा अर्धा वाटून घेतो,’ हर्षा म्हणाली. ‘कोणत्याही वस्तूचा अर्धा भाग म्हणजे काय हे नीट समजलं की एक तृतीयांश भाग म्हणजे काय, एक चतुर्थांश भाग म्हणजे काय हे समजावून घेणं अवघड नाही. आता तुम्ही चौघे मुले आहात, एक पेरू किंवा सफरचंद दिले तर चौघांत सारखे वाटून घ्याल की नाही?’ मालतीबाईंनी विचारले. ‘हो, मग प्रत्येकाला एक चतुर्थांश सफरचंद मिळेल ना?’ नंदूने प्रतिप्रश्‍न केला. 

‘बरोबर. आता वस्तूच्या समान वाटणीवरून आपण गणितातले अपूर्णांक पाहू. कोणत्याही वस्तूचे २, ३, ४, ५ असे समान भाग करत त्यातला एकेक भाग म्हणजे अर्धा किंवा एक द्वितीयांश, एक तृतीयांश, एक चतुर्थांश, एक पंचमांश असे भाग आपल्याला मिळतात. ते असे लिहितात...’ असे म्हणून बाईंनी ते अपूर्णांक असे लिहून दाखवले. 

‘हे सोपे आहे. समान भाग करून त्यातला एक घेतला, की असे अपूर्णांक मिळतात. पुस्तकात ते वर्तुळाचे भाग करून दाखवले आहेत,’ हर्षाला आठवले.  

‘केकचे किंवा भाकरीचे समान भाग दाखवणे सोपे आहे. आपण चार फुले, चार पेरू, चार पेन्सिली याप्रमाणे अनेक चार वस्तू मोजत चार ही संख्या शिकलो. अशाच सगळ्या संख्या शिकलो. मग त्या कोणत्याही एका वस्तूशी निगडित न ठेवता केवळ संख्या म्हणून स्वीकारल्या आणि एक एकक घेऊन त्या संख्यारेषेवर दाखवायला शिकलो,’ बाई असे म्हणाल्यावर सतीशने सांगितले, ‘त्यासाठी कागदावर आडवी रेष काढून एक एकक म्हणजे एक सोयीचे माप घेऊन त्या अंतरावर खुणा करत जातो. सुरवातीच्या शून्यासाठी एक बिंदू ठरवून त्यापासून एक एकक अंतरावर १, आणखी एक एकक अंतर घेतलं की २, अशा खुणा करत आपण संख्यारेषा तयार करतो.’ 

‘एक या संख्येचा एकक ठरवला, की त्याचे दोन किंवा तीन सारखे भाग करून अर्धा किंवा एक तृतीयांश असे भाग दाखवता येतील. म्हणजे पूर्ण संख्येप्रमाणे अपूर्णांक याही संख्या आहेत. त्या एका एककाचे समान भाग करून दाखवता येतात हे ध्यानात ठेवा. दोन तृतीयांश म्हणजे एकाचे तीन समान भाग करून त्यातून घेतलेले दोन भाग, तीन चतुर्थांश म्हणजे एकाचे चार समान भाग करून त्यातले घेतलेले तीन भाग हे माहीत आहे ना? हे समजण्यासाठी वर्तुळाचे समान भाग करता येतात, तसेच एक पट्टी किंवा रेषा घेऊनदेखील समान भाग करता येतात..’ बाई म्हणाल्या. 

बाईंच्या प्रश्‍नाला नंदूने उत्तर दिले, ‘ते समजले आम्हाला. पण त्याच्या पुढचा अभ्यास नीट नाही समजत.’ ‘त्यासाठी या अपूर्णांकांची आणखी ओळख करून घेऊ आपण,’ बाई म्हणाल्या. ‘एक मुलगा वेगवेगळे कपडे घालून आला. त्यामुळे जरा वेगळा दिसला, तरी तो मुलगा तोच असतो, बदलत नाही हे मान्य आहे ना? उदाहरणार्थ तू पोहायला जाताना फक्त लहान चड्डी घालून जातोस, शाळेत जाताना गणवेश घालून जातोस, समजा अंतराळवीर बनायला गेलास तर मोठा थोरला स्पेस सूट घालून जाशील, तरी आतला आनंद नावाचा मुलगा तोच राहशील ना?’ नंदू हसून म्हणाला, ‘अर्थात कपडे बदलले तरी मी कसा बदलेन?’ 

‘तसेच काहीसे अपूर्णांकांचे आहे. आता या आकृतीत पाहा दोन तृतीयांश आणि चार षष्ठांश हे अपूर्णांक वेगळे दिसले, तरी एकच आहेत हे ध्यानात घ्या.’ 

हर्षा निरीक्षण करून म्हणाली, ‘एकाचे तीन भाग करून त्यातले दोन घेणे आणि सहा भाग करून त्यातले चार घेणे हे सारखेच आहे.’ 

‘अपूर्णांक अंश व छेद या रूपात लिहिताना यावरून एक नियम मिळतो, तो फार महत्त्वाचा आहे, नीट ध्यानात ठेवा. अंश आणि छेद दोघांनाही एकाच संख्येने गुणले, तर अपूर्णांक बदलत नाही, त्याची किंमत तीच राहते. अर्थात शून्याने गुणायची परवानगी नाही, कारण छेद शून्य होऊ शकत नाही,’ बाईंनी सांगितले. 

शीतलने काही अपूर्णांक लिहून दाखवले व ती म्हणाली, ‘आम्हाला शिकवले आहे हे, मात्र कधी कधी लक्षात राहत नाही.’ बाईंनी बजावले, ‘हा नियम विसरायचा नाही. हवे तर हा आपला एक गोल्डन रूल आहे असे समजा. सोपा, पण महत्त्वाचा. खूप उपयोगी पडणारा. पुढच्या वेळेला त्याचे उपयोग सांगेन, मग त्याचे महत्त्व कळेल.’

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या