पृथ्वीवर सरळ रेष कशी काढायची? 

मंगला नारळीकर      
शुक्रवार, 16 मार्च 2018

गणित भेट

गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

मुलं आली, तेव्हा पृथ्वीचा गोल टेबलावर ठेवलेला होता. तो पाहून आज पृथ्वीवर सरळ रेषा काढायच्या आहेत हे मुलांना आठवलं. साधा खडू घेऊन गोलावर रेषा काढून पाहायला बाईंनी सांगितलं होतं. कारण त्या रेषा सहज पुसता येतात. नंदूनं आडव्या रेषा काढल्या तर हर्षानं उभ्या.. ‘मुंबई आणि दिल्लीला सरळ रेषेनं जोडा बरं,’ असं मालतीबाईंनी सांगितल्यावर नंदूनं लहानशी तिरकी रेष काढून मुंबई आणि दिल्ली यांना जोडून दाखवलं. ‘छान, आता पृथ्वीवर सरळ रेष कशी काढायची हे थोडंसं समजलं का?’ बाईंनी विचारलं, तेव्हा शीतल म्हणाली, ‘नीट नाही समजलं. दिल्ली आणि मुंबई यांना जोडणारी सरळ रेष दिसते आहे, ती कागदावरच्या रेषेसारखी प्रतलावर नाही, ती उजव्या व डाव्या बाजूला वाढवली तर गोल वळते आहे. प्रतलावरची रेष दोन्ही बाजूंना वाढवली तर कितीही लांबवर सरळ राहते.’ 
बाई समजावू लागल्या.. ‘कागदावर आपण प्रतलावरची ‘यूक्‍लिड’ची भूमिती शिकतो. तिचे सगळे नियम गोलावरच्या भूमितीला लागू होत नाहीत. इथं वेगळे नियम ठरवले आहेत. दोन बिंदूंना जोडणारी सरळ रेषा म्हणजे त्यांना जोडणारी सर्वांत कमी लांबीची रेषा अशी व्याख्या करायची. मग ती रेषा ठरवता येते. विचार करून पाहा अशी रेषा कोणती असेल?’ थोडा वेळ खडूनं रेषा काढून झाल्यावर सतीश म्हणाला, ‘अशी रेषा गोलच येते कारण ती गोलावर आहे ना? कागदावर असते तशी सरळ रेषा येतच नाही इथं.’ ‘आपण आधीच पाहिलं, की इथली भूमिती कागदावरच्या यूक्‍लीडच्या भूमितीपेक्षा वेगळी आहे. दोन बिंदू सरळ रेषा ठरवतात किंवा दिलेल्या दोन बिंदूंतून एकमेव सरळ रेषा जाते हे आपल्याला माहीत आहे. तसंच तीन एकरेषीय नसलेले बिंदू घेतले, तर त्यांच्या मधून एकमेव प्रतल जाते हे ध्यानात घ्या. जे दोन बिंदू जोडायचे, ते आणि पृथ्वीच्या गोलाचा मध्य यातून एकमेव प्रतल जाते. ते गोलाच्या पृष्ठभागाला एका वर्तुळात छेदते. या वर्तुळाचा चाप त्या दोन बिंदूंना जोडणारी सरळ रेषा आहे,’ बाईंनी समजावले. 
‘पण मग आपण मैदानावर म्हणजे पृथ्वीवर सरळ रेषा काढतो त्या कशा?’ नंदू गोंधळला होता. ‘पृथ्वी खूपच मोठी आहे, आपण सपाट मैदानावर असतो तेव्हा ते बरंचसं प्रतलासारखं असतं म्हणून ते प्रतल मानून आपण सरळ रेषा काढतो. ती पुढं १०० मिलीमीटरहून जास्त वाढवत नेली, तर वर्तुळाचा आकार लांबून पाहताना जाणवू शकेल..’ बाई पुढं म्हणाल्या, ‘पृथ्वी धृवांजवळ जराशी चपटी आहे, आपण ती गोल आहे असं समजू या. तिच्या मध्यातून जाणारे प्रतल पृष्ठभागाला ज्या वर्तुळात छेदते, त्याला महावर्तुळ म्हणतात. कारण इतर प्रतले ज्या वर्तुळात पृष्ठभागाला छेदतात त्यांच्या त्रिज्या पृथ्वीच्या त्रिज्येपेक्षा लहान असतात. पण महावर्तुळाची त्रिज्या पृथ्वीच्या त्रिज्येएवढीच असते. आता आपण पाहिलेल्या व्याख्येनुसार प्रत्येक महावर्तुळ ही पृथ्वीवरची सरळ रेषा आहे हे ध्यानात घ्या.’ ‘हे मात्र विचित्र वाटतं आहे,’ असं म्हणून सतीशनं पृथ्वीचा गोल चांगला पुसून काढला, मग पुन्हा खडू घेऊन त्यावर वर्तुळं काढून पाहिली, तेव्हा त्याचं जरा समाधान झालं. तो म्हणाला, ‘आमच्या भूगोलाच्या पुस्तकात पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर उत्तर आणि दक्षिण धृवांना जोडणारी रेखावृत्तं आणि आडवी अक्षवृत्तं काढायला शिकवलं आहे. त्यातली रेखावृत्तं ही महावर्तुळं आहेत पण अक्षवृत्तांपैकी फक्त विषुववृत्त महावर्तुळ दिसतं आहे.’ 
‘शाबास, बरोबर निरीक्षण आहे तुझं,’ त्याला शाबासकी देऊन बाई म्हणाल्या, ‘मात्र या रेषा काल्पनिक आहेत. माणसांनी आपल्या सोयीसाठी काढल्या आहेत. पृथ्वीवरील कोणतंही गाव किंवा जागा इतर गावं, देश यांच्या तुलनेत कुठं आहेत, किती लांब आहेत हे ठरवायला या रेषांचा उपयोग होतो. विषुववृत्तापासून किती वर किंवा खाली ती जागा आहे हे अक्षवृत्तावरून ठरतं; तर युरोपच्या तुलनेत किती पूर्वेला किंवा पश्‍चिमेला आहे हे रेखावृत्तावरून ठरतं.’ ‘युरोपच्या तुलनेत काय म्हणून?’ शीतलनं विचारलं. ‘दर्यावर्दी ब्रिटिश लोकांनी त्यांना प्रवासाला उपयोगी असे पृथ्वीचे नकाशे बनवायला सुरवात केली. पृथ्वी गोल असल्यामुळं पूर्वेकडं जात राहिलं तर आपण परत सुरवातीच्या जागेवर येतो हे त्यांना माहीत झालं होतं. मग वेगवेगळ्या जागांची ठिकाणं निश्‍चित करण्यासाठी जिथं नकाशे बनवायला सुरवात केली, त्या देशाच्या म्हणजे ब्रिटिश वेधशाळेच्या गावाचे, ग्रीनिच गावाचे स्थान शून्य रेखांश मानून त्याच्या पूर्वेची व पश्‍चिमेची स्थानं योग्य रेखांश देत दाखवली. वर्तुळाच्या एकूण डिग्री ३६० ठरलेल्या होत्या. मग पूर्वेकडं १८० व पश्‍चिमेकडं १८० असे अंश वाटले. १८० अंश पूर्व आणि १८० अंश पश्‍चिम हे एकच रेखांश असणार, ती रेषा कोणत्याही देशातून जात नाही हे पाहिलं. त्या रेषेवर दिवसाची तारीख बदलते. तिच्या पूर्वेच्या बाजूला एक तारीख तर पश्‍चिमेकडं पुढची तारीख चालू झालेली असते. पृथ्वी पश्‍चिमेकडून पूर्वेकडं जाते, तारीख बदलाच्या रेषेवर सूर्य उगवून तारीख बदलली, की लवकरच जपानमध्ये सूर्य उगवून नवी तारीख येते. पण पृथ्वीची फेरी बरीच पुरी झाली, की अमेरिकेच्या पश्‍चिम किनाऱ्यावर सूर्य उगवून तारीख बदलते. रशियाचा अतिपूर्वेकडील मनुष्यवस्ती नसलेला काही भाग त्या रेषेखाली येतो. खरं तर कोणत्याही ठिकाणाहून पूर्व आणि पश्‍चिम दिशा निश्‍चित करता आल्या, तरी कोणतीही जागा पूर्वेची पहिली जागा म्हणता येत नाही. कारण पृथ्वी गोल आहे. प्रत्येक जागेच्या पूर्वेला आणि पश्‍चिमेला जागा आहेतच. पण शास्त्रज्ञ आणि नकाशे करणाऱ्या लोकांनी ठरवलं, की ती खास  अंशाची रेषा पूर्वेची सुरवात मानायची. त्यानुसार जपान हा पूर्वेचा पहिला देश झाला. तुम्ही ‘ॲटलास’वर आणि पृथ्वीच्या गोलावर  वेगवेगळी गावं शोधायला शिका. मग इतर गावं व देश यांच्या तुलनेत एखादं गाव कोठे आहे हे समजेल. आता एक कोडं घालू का तुम्हाला?’ 
‘हो, हो, जरा मजा येईल सोडवायला असं कोडं द्या..’ सतीश म्हणाला. 
‘एक माणूस दक्षिणेकडं १० किलोमीटर चालत गेला, मग डावीकडं वळून पूर्वेकडं १० किलोमीटर गेला. पुन्हा डावीकडं वळून उत्तरेकडं १० किलोमीटर गेला; तेव्हा सुरवातीच्या जागेवर म्हणजे जिथून निघाला तिथंच पोचला. तर तो कोठून निघाला असेल?’ बाईंचं कोडं ऐकून शीतलनं कागदावर अशी आकृती काढली. 

‘एकूण तीन दिशांचं चालणं पाहिलं, तर दक्षिणेकडं आणि उत्तरेकडं जाणाऱ्या समांतर रेषा येतात त्या एकत्र कशा येतील?’ तिला प्रश्‍न पडला. पण सतीश पृथ्वीच्या गोलावर कोडं सोडवू शकला. त्यानं कोणतं उत्तर शोधलं? विचार करा.

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या