बिंदू आणि सरळ रेषा 

डॉ. मंगला नारळीकर 
शुक्रवार, 9 मार्च 2018

गणितभेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज बेरीज वजाबाकी, यांबद्दल विचार न करता भूमितीच्या आकृत्यांचा विचार करू या का?’ असं सतीशनं विचारलं आणि बाकीच्यांनी त्याला उत्साहानं पाठिंबा दिला. ‘जरूर’ मालतीबाई म्हणाल्या. 

‘सगळ्यात आधी कशाचा विचार होतो भूमितीमध्ये?’ असं त्यांनी विचारताच ‘बिंदू आणि सरळ रेषा!’ असं उत्तर शीतलनं दिलं. ‘बिंदू म्हणजे पेन्सिलीनं लहान ठिपके काढतो किंवा रांगोळीचे ठिपके काढतो तसं, तर सरळ रेषा म्हणजे पट्टी वापरून काढतो तशी!’ तिनं पुढं स्पष्टीकरण दिलं. ‘पट्टी नसेल तर सरळ रेषा काढता येईल का?’ बाईंनी मुलांना विचारलं. ‘हो, पट्टी नसेल, तर पुस्तक कागदावर धरून त्याच्या बाजूनं सरळ रेषा काढता येते की!’ नंदूनं आपली युक्ती सांगितली. ‘बरोबर! कोणतीही सरळ कडा असलेली वस्तू घेऊन त्या सरळ कडेच्या आधारानं सरळ रेषा काढता येते. पण अशी कोणतीही वस्तू जवळ नसेल, तर सरळ रेषा कशी काढाल?’ मुलं आता विचार करू लागली. सतीशला आठवलं, ‘आम्ही मैदानावर दोरी वापरून पांढऱ्या चुन्याच्या पावडरीनं सरळ रेषा काढताना पाहिलं आहे. दोन माणसं दोरी ताणून धरतात आणि तिसरा माणूस सावकाश त्या दोरीवरून पावडर टाकत पांढरी रेषा काढतो. ती चांगली सरळ रेषा असते.’ 

‘शाबास! पट्टीची किंवा पुस्तकाची कडा जशी सरळ रेषा दाखवते, तशीच ती दोरीही सरळ रेषा दाखवते. पण ती दोरी ताणून धरता जमिनीवर कशीही पडू दिली, तर सरळ रेषा मिळेल का?’ बाईंच्या या प्रश्‍नाला हर्षानं उत्तर दिलं, ‘नाही मिळणार. कारण दोरी बहुतेक वेडीवाकडी, कशीही पडेल.’ ‘दोरी दोन बिंदूंच्या मध्ये ताणून धरली, तर तिची त्या बिंदूंच्या मधली लांबी आणि कशीही वेडीवाकडी पडून त्याच दोन बिंदूंना जोडत असली, तर तिची लांबी या एकच असतील का?’ बाई मुलांना विचारत गेल्या. हे कसं शक्‍य आहे? दोरी ताणून धरली, तर तिची लांबी सर्वांत कमी असणार, वेडीवाकडी पडली, तर लांबी वाढणार... ‘यावरून सरळ रेषेची व्याख्या आपण करू शकतो. दोन बिंदूंच्या मधली सरळ रेषा म्हणजे त्या बिंदूंना जोडणारी सर्वांत कमी लांबीची रेषा असते. त्या बिंदूंना जोडणाऱ्या विविध रेषांची लांबी दोरीच्या लांबीप्रमाणं आपण मोजू शकतो, हे इथं गृहीत धरलं आहे..’ बाईंचं म्हणणं समजलेलं दिसलं. हर्षा म्हणाली, ‘याचा अर्थ दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या असंख्य रेषा असतात, पण त्यातल्या सरळ रेषेची लांबी सर्वांत कमी असते, यावरून ती ओळखता येईल. कागदावरसुद्धा मी दोरा ताणून धरून सरळ रेषा काढू शकेन.’ 

‘शाबास. आता सांगा पाहू तुम्हाला कुठं कुठं सरळ रेषा दिसतात ते!’ बाईंच्या या प्रश्‍नावर नंदू म्हणाला, ‘खिडकीच्या कडा, दाराच्या कडा, खिडकीचे गज, चौकोनी पेटीच्या कडा, कितीतरी वस्तूंमध्ये सरळ रेषा दिसतात.’ ‘आम्ही शाळेत एका प्रतलातील रेषांचा अभ्यास करतो. पण व्यवहारात त्या अनेक प्रतलांत असलेल्या दिसतात,’ सतीशच्या या बोलण्यावर बाई म्हणाल्या, ‘खरं आहे ते. पातळसं पुस्तक किंवा घडी घातलेलं शुभेच्छापत्र पाहिलं की समजतं हे. बाईंडिंगची कडा किंवा कार्डाची घडी ही रेषा कितीतरी प्रतलात असते. पुस्तकाची पानं किंवा घडीवर उघडणारं शुभेच्छापत्र हे अनेक प्रतलं दाखवतात. आपण सुईदोरा घेऊन हातानं कपडा शिवतो, तेव्हा प्रत्येक वेळी सुई वर ओढली की दोरा सरळ रेषेत असतो. या रेषा आपण कोणत्याही दिशेला काढू शकतो. मैदानावर सरळ रेषा काढताना मैदान हे एक प्रतल आहे असं आपण मानतो. वास्तविक पृथ्वी चेंडूसारखी गोल आहे, म्हणजे तिचा पृष्ठभाग गोल आहे हेदेखील आपल्याला ठाऊक आहे. तर या गोल पृष्ठभागावर सरळ रेषा काढता येईल का?’ 

‘आपण मैदानावर म्हणजे पृथ्वीवरच रेषा काढतो की!’ नंदू चक्रावला. ‘पण ते एक प्रतल आहे असं मानतो आपण. या पृथ्वीच्या गोलावर काढता येईल का सरळ रेषा?’ असं म्हणत बाईंनी टेबलावर फुटबॉलच्या आकाराचा गोल ठेवला. आता सगळे विचारात पडले. ‘मुंबई ते न्यूयॉर्क अशी सरळ रेषा कशी काढाल?’ यावर नंदू म्हणाला, ‘दोन भोकं करू.. मुंबई आणि न्यूयॉर्कच्या जागांवर आणि दोरा ओवून ताणून धरू.’ सगळे हसू लागले. ‘..आणि पृथ्वीला भोकं पाडून हे करता येईल का? तुझं सोल्यूशन अमान्य!’ सतीशनं बजावलं. ‘यासाठी पृथ्वीवर सरळ रेषा कशी ठरवायची हे प्रथम पाहायला हवं. आपण ते पुढच्या वेळी पाहू. आता तुम्ही केवळ सरळ रेषांनी तयार केलेल्या आकृत्या रंगवायला घ्या..’ बाईंनी निरोप दिला.

संबंधित बातम्या