दुकानदारांची वजाबाकी 

डॉ. मंगला नारळीकर 
गुरुवार, 8 मार्च 2018

गणितभेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज मालतीबाई मुलांना घेऊन पुस्तकांच्या दुकानात गेल्या, नंदूचा वाढदिवस जवळ आला होता, त्याच्यासाठी आवडीची पुस्तके घ्यायचे ठरले होते. पुस्तकांची किंमत २६८ झाली. बाईंनी ५०० ची नोट काढत मुलांना विचारले, ‘यातून किती पैसे परत येतील सांगा पाहू!’ 
‘ही हातच्याची वजाबाकी आहे, कागद पेन्सिल लागेल ती करायला, सोपं नाही हे.’ नंदूने तक्रार केली. 

दुकानदार हसून म्हणाला, ‘हातच्याची वजाबाकी न करता सोप्या रीतीने वजाबाकी करता येते, २३२ रुपये परत येतील.’ हर्षाने विचारले, ‘हातचा न घेता कशी करता ही वजाबाकी?’ दुकानदार म्हणाला, ‘माझ्याकडे अनेकदा मोठी नोट येते, ती मोडून मला बिलाचे पैसे वजा करून उरलेली मोड द्यावी लागते. उदाहरणार्थ १०० मधून दोन अंकी संख्या वजा करण्याऐवजी ९९ मधून वजाबाकी करणं सोपं आहे, त्यात हातचा घ्यावा लागत नाही, म्हणून आधी १०० मधून १ काढून घेतो, मग ९९ मधून वजाबाकी करून काढलेला १ परत मिळवून टाकतो. १०० - ६८ = १०० - १ - ६८ + १ म्हणजेच ९९ - ६८ + १ अशी क्रिया केली तरी उत्तर तेच येतं.’ 

‘ही छान युक्ती तुम्हाला समजली. घरी गेल्यावर कागद पेन्सिल घेऊन काही वजाबाक्‍या सोप्या कशा करता येतात ते आपण पाहू.’ बाईंनी ठरवले. 

घरी आल्यावर सर्वांना कागद पेन्सिली देऊन १०० - ४७, १००० - २८३ , १००० - ५७६, अशा वजाबाक्‍या करायला सांगितले. 

नंदूने १००० - २८३ ही वजाबाकी अशी केली, त्याला बराच वेळ लागला. 

‘दुकानदाराने सांगितलेले आठव बरं ! ही वजाबाकी अशी करता येते.’ 

‘९९९ मधून लहान संख्या वजा करताना हातचा घ्यावा लागत नाही. म्हणून १००० मधून आधी १ वजा करावा, ९९९ मधून लहान संख्या वजा करून झाली, की काढून घेतलेला १ पुन्हा मिळवायचा.’ बाईंनी समजावले. 

शीतल म्हणाली, ‘आमच्या शाळेत एका शिक्षकांनी ही युक्ती सांगितली होती. अशी वजाबाकी करताना आधीच्या संख्या ९ मधून तर शेवटची संख्या १० मधून वजा करावी की उत्तर मिळते. पण ते का हे सांगितले नव्हते.‘ ‘ही युक्ती म्हणजे गणितातल्या काही क्रिया वापरून आपली आकडेमोड सोपी करणे आहे. ती केवळ अशा सूत्राच्या रूपात सांगितली तर १०००० - ४५८० अशा वजाबाकीसाठी ती वापरता येत नाही. कारण इथे शेवटचा अंक शून्य आहे, तो १० मधून वजा केल्यास दहाच उरतात, ते एककाच्या घरात कसे लिहिणार? म्हणून त्या युक्तीचे गणिती स्पष्टीकरण देऊन समजावणं अधिक चांगलं!’ बाई म्हणाल्या.  

शिवाय ही रीत वापरून आपण २००० - १३६२, ५०००० - २८६३४ अशा प्रकारच्या वजाबाक्‍या देखील लवकर करू शकतो. कारण २००० मधून १ वजा केला की १९९९, ५०००० मधून १ वजा केला की ४९९९९ अशा संख्या मिळतात. त्यातून लहान संख्या वजा करताना हातचा घ्यावा लागत नाही. आता सतीशचे डोके चालत होते. ‘पण आधी काढून घेतलेला १ परत मिळवायला विसरायचं नाही.’ हर्षा म्हणाली. 

शीतल विचार करत होती. ‘हीच रीत वापरून आपण कोणतीही वजाबाकी हातचा न घेता करू शकतो.’  

‘ते कसं काय?’ सतीशला प्रश्न पडला. ‘ज्या संख्येतून लहान संख्या वजा करायची आहे, तिच्यातून एक विशिष्ट संख्या वजा करायची, मग वजाबाकीचे स्वरूप ९९९, १९९९, ६९९९९ किंवा यातून लहान संख्या वजा करणे असे होईल. ती वजाबाकी करून झाली की आधी वजा केलेली संख्या पुन्हा मिळवून टाकायची. दोन सोप्या वजाबाक्‍या आणि एक बेरीज एवढं मात्र करावं लागेल. उदाहरणार्थ हे पाहा.’ असे म्हणून तिने अशी वजाबाकी करून दाखवली.  

‘एवढी लांब रीत करण्यापेक्षा हातच्याची वजाबाकी करणं बरं आहे की!’ नंदू म्हणाला. 

‘वजाबाकीची आणखी एक सोपी रीत काही दुकानदार वापरतात. त्यात वजाबाकी न करता फक्त बेरीज करतात. आज आपलं बिल झालं होतं २६८ रुपये. तर पुस्तकांची ही किंमत आणि त्याच्या पुढे अधिक दोन म्हणजे २७० त्यात ३० मिळवले की ३०० झाले, मग त्यात २०० मिळवून ५०० पूर्ण झाले असा हिशोब करत दुकानदार २ + ३० + ३०० असे रुपये परत करतो. वजाबाकी अशा रीतीने बेरजेच्या रूपात पुढे मोजूनही करता येते.’ बाईंनी वेगळी रीत सांगितली. 

संबंधित बातम्या