सोप्पी वजाबाकी 

डॉ. मंगला नारळीकर 
गुरुवार, 22 फेब्रुवारी 2018

गणितभेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

गेल्या वेळी काही बेरजा आणि वजाबाक्‍या तुम्ही सोप्या करून सांगितल्या, तशा आणखी काही सोप्या युक्‍त्या सांगता येतील का?’ शीतलने विचारलं. सतीश म्हणाला, ‘आम्ही हातचे घेऊन बेरजा आणि वजाबाक्‍या करायला शिकलो, पण आम्ही जे लिहितो ते आमच्या आजोबांना विचित्र वाटतं, तर त्यांची हातच्याची वजाबाकी लिहिलेली आम्हाला समजत नाही.’ ते म्हणतात, ‘हे नवीन गणित आम्हाला नाही शिकवता येत.’... ‘पण दोघांची उत्तरं वेगवेगळी येतात का?’ मालतीबाईंनी विचारलं. 

तेव्हा तो म्हणाला, ‘नाही, न चुकता केलं तर दोघांचं उत्तर सारखंच येतं.’ मग बाई म्हणाल्या ‘कारण मुळात गणित तेच असतं, त्याची रीतही तीच, पण लिहिण्याची आणि समजून घेण्याची पद्धत वेगळी असते.’ 

ते मुलांना पटलेलं दिसलं नाही. नंतर बाई म्हणाल्या, ‘आपण लिहून पाहू दोन्ही पद्धती.' 
त्यांनी नव्या गणिताप्रमाणे ‘५२-२८’ ही वजाबाकी करून दाखवली. 

‘यात आपण २ मधून ८ वजा करता येत नाही, म्हणून ५ दशकातील एक मोकळा करून एककाच्या स्तंभात नेतो, मग वजाबाकी पुरी करतो. एक दशक मोकळा केला म्हणून वरच्या संख्येत ४ दशक उरले, ते ५ वर काट मारून त्याऐवजी ४ वर लिहिले. एककामध्ये मोकळा केलेल्या दशकाचे १० आणि पहिले २ मिळून १२ झाले, त्यातून ८ वजा करून मग ४ दशक उरले त्यातून २ वजा करतो.’ 

बाईंचं हे स्पष्टीकरण मुलांना माहीत होतंच. 

‘आम्हाला असंच शिकवलं आहे शाळेत’ असं नंदू म्हणाला. 

‘आता आजोबा कशी वजाबाकी करतात पाहू.’ असं म्हणून बाईंनी आकृती खालील वजाबाकी लिहून दाखवली. 

‘या वजाबाकीत २ च्या खाली १ का लिहिला? २ मधून ८ कसे वजा करता येतात, हे कळत नाही आम्हाला.’ हर्षा म्हणाली. 

बाईंनी आता स्पष्टीकरण दिले. ‘इथे देखील ५ दशकांतील एक मोकळा करण्यासाठी घेतला, म्हणून हातचा एक घेतला, तो २ या दशकाच्या खाली लिहिला. मोकळा केलेल्या दशकाचे सुटे १० किंवा दहा एकक हे २च्या मागे बोटाने किंवा पेन्सिलीने दाखवून, किंवा त्यांची कल्पना करून १२ एककांमधून ८ वजा केले, मग बोट वा पेन्सिल काढून घेतली. आता ५ दशकातून २ ऐवजी २ अधिक १ हातचा असे ३ वजा केले. उत्तर २ दशक आणि ४ एकक, म्हणजे २४ हेच आले.’ 

‘हातचा वजा करण्याच्या २८ मधल्या २ च्या खाली का लिहिला आणि तो २ मध्ये मिळवायचा का हे समजलं नाही.’ सतीश म्हणाला. 

याचं स्पष्टीकरण विद्यार्थ्यांना पूर्वीही देत नसत. केवळ रीत शिकवून व घोटून घोटून वजाबाकी पक्की करून घेत. विद्यार्थांना गणिताचा कंटाळा व तिटकारा यायला हे एक कारण असे. आता रीत शिकवताना तिचं स्पष्टीकरण देत शिकवलं जातं, म्हणून रीत समजते, त्यामुळे न समजलेली रीत यांत्रिकपणे शिकावी लागत नाही. जुनी रीत देखील बरोबर आहे हे समजावलं की समजत. 

"A - B आणि ( A + X ) - ( B + X ) या दोन्ही वजाबाक्‍यांचं उत्तर एकच आहे हे पटते ना?' बाईंचं म्हणणं शीतल आणि सतीशला ते चटकन समजलं. बाई पुढे म्हणाल्या, ‘मग तेच तत्त्व जुन्या वजाबाकी मांडण्यात वापरलं आहे. ही वजाबाकी करताना वरच्या व खालच्या संख्येत दहा दहा मिळवले, तर मग उत्तर बदलत नाही. मात्र सोयीसाठी वरच्या संख्येत ते दहा सुटे म्हणजे एकक करून मिळवले, तर खालच्या संख्येत ते दशकाच्या रूपात मिळवले. ते खाली मांडले की वजाबाकीत मोकळे करायला वापरले, किंवा हातचा घेतला हे तपासताना ध्यानात येतं. दशकांची वजाबाकी करताना हातचा वजा करण्याच्या संख्येत मिळवायचा हेही समजतं. म्हणून हातचा वजा करायच्या संख्येच्या खाली लिहितात.’  

‘एवढं समजावल्यावर ते ठीक वाटतंय. पण आम्हाला शिकवलेली रीत लवकर समजते. गोंधळ होत नाही.’ इति सतीश. ‘पण जुन्या पद्धतीचा एक गुण लक्षात घ्या. तिथे काटाकाट करून वर परत नवी संख्या लिहून जास्त जागा घेतली नाही, लिहिणं स्वच्छ आहे, शिवाय हातचा घेतला की नाही हेदेखील समजते आहे. तीन किंवा चार अंकी संख्यांच्या वजाबाकीत हे आणखी लक्षात येतं. करून पाहा' असं म्हणून बाईंनी शीतलला ‘७२४-२५९’ ही वजाबाकी तिच्या नव्या पद्धतीने करायला सांगितली आणि स्वतः: ती जुन्या पद्धतीने लिहिली. दोन्ही वजाबाक्‍या अशा होत्या. 

ते पाहून सर्वांनी मान्य केले की जुनी पद्धत कमी जागा घेणारी आणि स्वच्छ दिसते. 

बाई म्हणाल्या, ‘प्रथम शिकवताना तुम्हाला शिकवतात ते योग्यच आहे, कारण त्यामुळे क्रियेचा अर्थ नीट समजतो, अर्थ न समजता यांत्रिकपणे रीत शिकावी लागत नाही. पण वरच्या वर्गात गेल्यावर जुन्या लोकांची रीत शिकून वापरली, तर मोठ्या वजाबाक्‍या करताना वेळ आणि जागा दोन्ही वाचतात.’ 

संबंधित बातम्या