कंपास व पट्टी 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 4 ऑक्टोबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज आकडेमोड न करता दुसरेच काहीतरी करू या का?’ नंदूने विचारले. ‘चालेल. आपण संख्यारेषा तयार करू या,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘पण मग पुन्हा संख्यांच्या बेरजा, वजाबाक्‍या, गुणाकार, भागाकार करायचे ना?’ नंदूने नाराजीने विचारले. ‘मोठाल्या बेरजा नाही करणार, पण २ + १ = ३, ६ + १ = ७ एवढे करायला अवघड नाहीये. त्यासाठी फक्त एक मोठा कागद, सरळ लांब पट्टी, कंपास आणि पेन्सिल एवढेच साहित्य हवे. ते आहे का?’ ‘कंपास आणि लहान पट्टी आहे माझ्या बॉक्‍समध्ये आणि पेन्सिलीदेखील आहेत,’ हर्षा म्हणाली. ‘मोठे कागद देते मी,’ असे म्हणून बाईंनी ते आणले. ‘आता आपण कागदावर एक सरळ रेष काढू, ही आपली संख्यारेषा. तिच्यावर सोयीप्रमाणे साधारण मध्यावर शून्यासाठी ठिपका घेऊ,’ असे म्हणत बाईंनी ठिपका काढून त्याच्यावर शून्य लिहिले. ‘आता पट्टीवरच्या सेंटीमीटरच्या खुणा रेषेवर उतरवायच्या का?’ सतीशने विचारले. ‘या पट्टीवर सेंटीमीटरचे एकक घेतले आहे. पण आपण कोणतेही एकक एक या संख्येसाठी घेऊ शकतो. कंपासमध्ये तेवढे अंतर घेऊन शून्याच्या उजवीकडे खुणा करत जाऊ, मग १,२,३ अशा संख्या दाखवता येतात,’ बाई असे म्हणाल्यावर नंदूने तसे करून दाखवले. ‘आता शून्याच्या डावीकडे तशाच -१, -२, -३ या संख्या दाखवता येतात होय ना?’ हर्षाने विचारले. ‘बरोबर! कर बरे तसे,’ बाईंनी सांगितल्याप्रमाणे नंदूने तशा खुणा केल्या. ‘..आणि मग अर्धा, अडीच या संख्यादेखील दाखवता येतील का?’ बाईंचा प्रश्‍न आला, तेव्हा सतीश म्हणाला, ‘आम्हाला कंपास वापरून रेषेचे दोन समान भाग करणे म्हणजेच तिला दुभागणे करायला येते.’ त्याने कंपासमध्ये अंदाजे अर्ध्या एककापेक्षा जास्त अंतर घेऊन शून्य ते एकच्या रेषाखंडाच्या दोन्ही टोकांवर कंपासचे टोक ठेवून रेषेच्या खाली आणि वर चाप काढले. त्यांचे छेदन बिंदू काढून त्यांना जोडले आणि त्या रेषेचा दुभाजन बिंदू काढला. (आकृती १ पहा) 

‘शाबास! आता तुम्हाला दीड, अडीच, साडेतीन अशा संख्या दाखवता येतील ना?’ असे बाईंनी विचारताच हर्षा म्हणाली, ‘हो, अर्ध्या एककाचे अंतर आता माहीत आहे, ते कंपास वापरून कोणत्याही पूर्ण संख्येच्या पुढे जोडता येईल.’ 

‘आता १/३ किंवा ४/७ असा कोणताही अपूर्णांक म्हणजे परिमेय संख्या किंवा दाखवता येईल का संख्यारेषेवर?’ मालतीबाईंच्या या प्रश्‍नावर मुले विचार करू लागली. ‘त्यासाठी दिलेल्या रेषेच्या बाहेर बिंदू दिला, तर त्या बिंदूतून दिलेल्या रेषेला समांतर रेषा कशी काढायची हे माहीत पाहिजे. त्यासाठी दिलेल्या रेषेला लंब रेषा काढता आली पाहिजे कंपास आणि पट्टी वापरून..’ बाईंचे बोलणे ऐकून शीतल म्हणाली, ‘आम्हाला शिकवले आहे ते! मी करून दाखवते. आपण रेषाखंडाचा दुभाजक काढताना लंब काढला होताच की!’ असे म्हणून तिने आधी दिलेल्या रेषेला लंब रेषा काढून दाखवली. मग बाहेरच्या बिंदूतून समांतर रेषा काढण्यासाठी त्या बिंदूतून दिलेल्या रेषेला लंब काढून रेषेवरील दुसऱ्या बिंदूतून तेवढाच लंब काढला आणि दोन्ही लंबांची वरची टोके जोडणारी सरळ रेषा काढली. (आकृती २ पहा) 

‘शाबास, इथे ABNM हा आयत किंवा काटकोन चौकोन तयार झाला आहे. त्याच्या समोरासमोरच्या बाजू समांतर असतात, म्हणून AB ही रेषा आपल्या MN रेषेला समांतर आहे. आता विचार करा आपल्याला एक एकक लांबीच्या रेषेवर ४/७ संख्या दाखवणारा बिंदू स्थापन करायचा आहे. १/७ एवढे अंतर दाखवता आले, तर त्याची चौपट करता येईल होय ना? मग विचार करा रेषेचे ७ किंवा कितीही समान भाग कसे कराल? समांतर रेषांचे गुणधर्म आठवा. आपल्या वहीवरच्या रेषा आणि त्यांचे काही छेदिकांनी केलेले छेद काढून तपासा.’ 

मुलांनी तसे केले. (आकृती ३ पहा) आता सतीशच्या लक्षात आले, ‘या रेषांच्या कोणत्याही छेदिकेवर होणारे छेद समान आहेत.’ ‘तो गुणधर्मच आहे समांतर रेषांचा! एका छेदिकेवरचे छेद समान असले, तर सगळ्या छेदिकांच्या वरचे छेद समान असतात. वहीच्या पानावरच्या रेषा समान अंतरावर काढल्या आहेत. म्हणून प्रत्येक छेदिकेवरचे छेद समान आहेत. याचा उपयोग करून एका एककाचे  समान भाग असे करता येतात.’ (आकृती ४ पहा) ‘आधी रेषेच्या एका टोकापासून दुसरी रेष सात सोयीच्या एककांची काढा, तिचे दुसरे टोक आपल्या रेषेच्या दुसऱ्या टोकाला जोडा. आता नव्या रेषेचे सात समान भाग करणारे बिंदू दाखवून त्यांच्या मधून या नव्या रेषेला समांतर रेषा काढा. त्या रेषा नव्या रेषेचे सात समान भाग करतात, म्हणून आपल्या दिलेल्या रेषेचेही समान सात भाग करतात. या पद्धतीचा उपयोग करून तुम्ही कोणतेही व्यवहारी अपूर्णांक किंवा परिमेय संख्या आपल्या संख्यारेषेवर दाखवू शकता,’ बाई म्हणाल्या. ‘संख्यारेषा मोठी केली, तर लहान भाग दाखवणे सोपे होईल. मग मीटरचे शंभर सेंटीमीटर होतात, तसे शंभर समान भागदेखील दाखवता येतील,’ हर्षा म्हणाली. ‘बरोबर! पुढच्या वेळी फक्त कंपास आणि पट्टी वापरून आणखी काही संख्या आपल्या संख्यारेषेवर कशा दाखवायच्या ते पाहू,’ बाई म्हणाल्या.

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या