निर्देशक भूमिती 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 31 ऑगस्ट 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

कमी आकडेमोड आणि चित्रातून गणित समजावण्याची एक पद्धत आपण पाहिली. आता भूमितीमध्ये आकृत्या असतात, त्यांचा अभ्यास बीजगणित वापरून कसा सोपा होतो, ते पाहू या,’ असे मालतीबाई म्हणाल्या, तेव्हा हर्षाने विचारले, ‘बीजगणितात अक्षरे असतात, त्या संख्या असतात असे आपण मानतो. पण भूमितीत तर वेगवेगळ्या बिंदूंना आपण अ, ब, क, ड अशी नावे देतो, म्हणजे हा अक्षरांचा वेगळा उपयोग आहे ना?’ बाई खूष होऊन म्हणाल्या, ‘चांगले निरीक्षण आहे तुझे! भूमितीमध्ये अक्षरांचा वेगवेगळ्या प्रकारांनी उपयोग केला जातो. ते नीट लक्षात घेतले तर भूमितीचा अभ्यास सोपा होऊ शकतो. आधी हे उदाहरण पाहा. इथे एका चाळीचे चित्र आहे.’ असे म्हणून त्यांनी चित्र दाखवले आणि त्या पुढे सांगू लागल्या. (कृपया खालील आकृती पहा) ‘यात चार मजली चाळीचा जिना डाव्या बाजूला आहे आणि त्याच्या प्रत्येक मजल्यावर मोठी गॅलरी असून तिच्यातून एकेका खोलीचे दार दिसते आहे. आपला मित्र या चाळीत राहत असेल तर त्याच्याकडे जायला कोणती माहिती आवश्‍यक आहे?’ ‘तो कोणत्या मजल्यावर राहतो हे माहीत हवे,’ नंदूने उत्तर दिले. ‘समजा, तो दुसऱ्या मजल्यावर राहत असेल तर तेवढी माहिती पुरेशी आहे का?’ बाईंचा प्रश्‍न आला, तेव्हा तो म्हणाला, ‘जिन्यापासून त्याची खोली कितवी आहे हेदेखील माहीत हवे.’ ‘बरोबर, म्हणजे या दोन गोष्टी माहीत असल्या, तर तू अचूक तुझ्या मित्राच्या खोलीकडे जाऊ शकतोस. आपण एका प्रतलावरील भूमितीचा अभ्यास करतो, तेव्हा अशाच गोष्टीचा उपयोग करून तो अभ्यास सोपा करू शकतो. त्यासाठी प्रतलावरील प्रत्येक बिंदूचा अचूक पत्ता कसा सांगता येतो हे पाहू.’ असे म्हणून त्यांनी एक आकृती काढली. (वरील आकृती पहा) 

‘कोणतीही वस्तू मोजताना आपल्या सोयीनुसार आपण एकक किंवा परिमाण निवडतो. मग त्या एककाशी तुलना करत मोजायची वस्तू मोजतो. रेषेची लांबी मोजताना ती सेंटीमीटर किंवा इंच अशा एककाच्या तुलनेने दाखवली जाते. संख्यारेषेवर संख्या दाखवताना सोयीचा आरंभ बिंदू आपण शून्य दाखवण्यासाठी घेतो. मग उजवीकडे धन संख्या, डावीकडे ऋण संख्या योग्य अंतरावरील बिंदूंनी दाखवतो..’ बाईंचे बोलणे ऐकून सतीश म्हणाला, ‘हे सगळं आम्ही शाळेत शिकलो आहोत.’ त्याच्याकडे बघत बाई पुढे म्हणाल्या, ‘आता इथे संपूर्ण प्रतलावरच्या बिंदूंचे वर्णन करायचं आहे, तर आधी आपल्या सोयीने दोन लंब रेषा घेतल्या त्यांचा छेदन बिंदू हा आरंभ बिंदू घेतला. त्याला इंग्रजीत ओरिजिन असे म्हणतात, आणि तो O ने दाखवतात. आडव्या रेषेला ‘क्ष’ अक्ष म्हणतात तर उभ्या रेषेला ‘य’ अक्ष म्हणतात. ‘क्ष’ अक्ष ही जमीन समजू तर ‘य’ अक्ष हा मध्यभागी असणारा मेरुदंड समजता येईल. आता या प्रतलावरच्या कोणत्याही बिंदूचा पत्ता अचूक सांगता येईल. संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एकमेव वास्तव संख्या दाखवतो, तर इथे प्रत्येक बिंदू दोन संख्यांची एकमेव जोडी दाखवतो.’ 

‘ती कशी?’ नंदूने विचारले. बाई म्हणाल्या, ‘चाळीतली मित्राची खोली, मजल्याची उंची व जिन्यापासूनचा क्रमांक या दोन गोष्टींनी निश्‍चित झाली तसेच इथे प्रत्येक बिंदू त्याची जमिनीपासूनची उंची आणि मेरुदंडापासूनचे अंतर यांनी निश्‍चित होतो. त्यासाठी उभ्या ‘य’ अक्षापासूनचे अंतर आणि आडव्या ‘क्ष’ अक्षापासूनचे अंतर किंवा उंची हे मोजायला हवे. मग प्रत्येक बिंदू या दोन संख्यांनी निश्‍चित केला जातो. आकृतीत A हा बिंदू (३, ६) या संख्या जोडीने दाखवला जातो. प्रतलावरील त्याचे स्थान असे निश्‍चित केले जाते. अशा जोडीतील पहिल्या संख्येला ‘क्ष’ निर्देशक तर दुसऱ्या संख्येला ‘य’ निर्देशक म्हणतात. इंग्रजीमध्ये याना ‘एक्‍स कोऑर्डिनेट’ व ‘वाय कोऑर्डिनेट’ असे म्हणतात. या उलट जर एखादी संख्याजोडी दिली असेल, तर ती एकमेव बिंदूची निर्देशक जोडी असते. तुम्ही हे पडताळून पाहा. या पद्धतीत भूमितीचा अभ्यास करताना एखाद्या वक्ररेषेचा किंवा आकृतीचा अभ्यास करताना त्यांतील बिंदूंच्या निर्देशकांचा अभ्यास केला जातो, त्यावरून अनेक गुणधर्म समजतात.’ ‘पण इथे बीजगणित दिसत नाहीये,’ नंदूने तक्रार केली. बाई म्हणाल्या, ‘ते येईल हळूहळू. एखाद्या रेषेवरील बिंदूंचे वर्णन त्यांच्या निर्देशकांच्यामधील सूत्रावरून चटकन आणि थोडक्‍यात समजू शकते. उदाहरणार्थ एखाद्या वर्तुळावरील बिंदूंचे वर्णन पाहा.  (समीकरण १ पहा) यात बिंदूचे O पासूनचे अंतर हे ४ एकक असेल, तर असे बिंदू ४ एकक त्रिज्या आणि O हा मध्य असलेल्या वर्तुळावर असतात हे माहीत आहे ना? पायथागोरसचे प्रमेय वापरून वर्तुळावरील बिंदूचे निर्देशक ‘क्ष’ आणि ‘य’ असले, तर (समीकरण २ पहा) म्हणून आपल्या वर्तुळाचे वर्णन (पुन्हा समीकरण १  पहा) असे करता येते. याउलट एखाद्या बिंदूचे निर्देशक या समीकरणाचे समाधान करत असतील तर तो बिंदू O पासून ४ एकक अंतरावर असल्यामुळे दिलेल्या वर्तुळावर आहे हे उघड आहे. म्हणून ते वर्तुळ या समीकरणाने दाखवता येते. (समीकरण ३, ४ पहा) ज्या बिंदूंचे निर्देशक अशा प्रकारच्या समीकरणाचे समाधान करतात, ते एका सरळ रेषेवर असतात हे सिद्ध करता येते. मग अशी सरळ रेषा व वर्तुळ यांचे छेदन बिंदू बीजगणित वापरून शोधता येतात. त्यांचे निर्देशक सहज मिळतात. त्यांच्यावरून बिंदू मिळतात,’ बाईंचे बोलणे ऐकून सतीशने विचारले, ‘कोणतीही आकृती प्रतलावर असेल, तर अशा प्रकाराने आकृतीमधील बिंदूंचे असे वर्णन करता येते का?’ 

‘होय. काही आकृत्यांचे वर्णन थोडक्‍यात देता येते, तर काही वेळा जास्त अटी द्याव्या लागतात. उदाहरणार्थ, आपल्याला वरील आकृतीतील वर्तुळाच्या आतले व वर्तुळावरचे अशा सर्व बिंदूंचा संच दाखवायचा असेल तर तो (अट १ पहा) अशा रीतीने दाखवता येतो. आता बीजगणितातील बहुपदी वापरून प्रतलावरच्या बिंदूंचा अभ्यास करता येतो हे समजले ना? पुढच्या वेळेला आपण अशा भूमितीचा आणखी एक महत्त्वाचा उपयोग पाहू,’ असे म्हणून बाईंनी निरोप दिला.

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या