संख्याशास्त्राचे स्पष्टीकरण 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 17 ऑगस्ट 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज मुले मागच्या वेळेच्या कोड्यावर विचार करून आली होती. (कृपया शेजारील आकृती पहावी.) सतीश म्हणाला, ‘खेळ चालू करताना दोन्ही बाजूंना काळे असणारे कार्ड आधी बाद होते. दोनच कार्डे विचारात घेतली जातात. त्यामुळे प्रत्येक कार्ड ओढले जाण्याची संभाव्यता सारखीच असायला हवी. त्यामुळे खेळ मांडणाऱ्या टेबलवाल्याला फारसे रुपये मिळणार नाहीत किंवा त्याचे फारसे रुपये जाणारही नाहीत असे मला वाटते.’ हर्षा म्हणाली, ‘टेबलवाल्याला जिंकवणाऱ्या कार्डाचे दोन्ही पृष्ठभाग पांढरे आहेत, खेळाडूला जिंकवणाऱ्या कार्डाचा एक भाग काळा आहे, याचा तो परिणाम असणार. पण कसा ते मला समजत नाही.’ 

बाई म्हणाल्या, ‘तुझा तर्क बरोबर आहे. नीट लक्षात घ्या, बाहेर ओढलेल्या कार्डाचा वरचा भाग पांढरा असेल, तरच खेळ चालू होतो. म्हणजे ते पहिले पूर्ण काळे कार्ड नाही हे नक्की. बाहेर आलेले कार्ड दोन प्रकारचे असू शकते. पण बाहेर आलेल्या कार्डाचा एकच भाग दिसतो आहे. असा पांढरा पृष्ठभाग दिसण्याच्या शक्‍यता कोणत्या हे विचारात घ्या.’ आता सतीशला उमगले, ‘पांढरे पृष्ठभाग एकूण तीन आहेत. त्यातला कोणताही प्रथम दिसू शकतो.’ शीतलने स्पष्टीकरण पूर्ण केले, ‘त्या तीन पांढऱ्या पृष्ठभागांपैकी दोन भाग कार्ड नंबर दोन वर आहेत, एक पांढरा भाग कार्ड नंबर ३ वर आहे. म्हणून बाहेर ओढलेले कार्ड टेबलवाल्याचे असण्याची संभाव्यता २/३ तर खेळाडूचे असण्याची संभाव्यता १/३ आहे.’ ‘शाबास. हे स्पष्टीकरण बरोबर आहे. त्यामुळे टेबलवाला ६० पैकी साधारण ४० वेळा जिंकतो, तर २० वेळा हरतो. म्हणून अंदाजे २० रुपये कमावतो. याप्रमाणे एखाद्या घटनेची संभाव्यता मोजण्यासाठी प्रयोगाच्या एकूण शक्‍यता, एकूण शक्‍यतांचे विविध उपसंच आणि यांतील घटकांची मोजणी अचूक करणे महत्त्वाचे असते. आपण काही सोपी उदाहरणे पाहू. समजा तीन व्यक्ती अ, ब, क अशा रिक्षामध्ये बसून जात आहेत, तर ‘ब’ ही व्यक्ती मध्ये बसली असण्याची संभाव्यता किती असेल?’ 

‘या व्यक्ती ओळीने बसल्या तर एकूण किती प्रकारे बसू शकतात हे मोजायचे ना?’ सतीशने विचारले. ‘बरोबर, ते मोजून झाले की ‘ब’ ही व्यक्ती किती प्रकारे मधे बसू शकेल हे मोजायचे,’ बाई म्हणाल्या. तोवर हर्षाने कागदावर (अ, ब, क), (ब, क, अ), (क, अ, ब), तसेच (अ, क, ब), (क, ब, अ) आणि (ब, अ, क)  असे सहा प्रकार लिहून काढले. बसण्याचे सगळे म्हणजे सहा प्रकार तिने दाखवले म्हणून तिला बाईंनी शाबासकी दिली. नंदूने लगेच ‘ब’ ही व्यक्ती मधे बसण्याचे (अ, ब, क) आणि (क, ब, अ) हे दोन प्रकार मोजून दाखवले आणि ‘ब’ ही व्यक्ती मधे असण्याची संभाव्यता २/६ किंवा १/३ आहे हे उत्तर काढले. 

‘कधी कधी संचातील घटक मोजण्याच्या अनेक पद्धती असतात. आपण एक उदाहरण पाहू...’ असे म्हणून बाई सांगू लागल्या. ‘याच उदाहरणात ‘ब’ ही व्यक्ती कडेला बसली असण्याचे प्रकार मोजून त्या घटनेची संभाव्यता मोजू या.’ नंदूने सांगितले, ‘हर्षाने दिलेली यादी तपासून ते प्रकार ४ आहेत हे मोजता येतेय. म्हणून ती संभाव्यता ४/६ किंवा २/३ आहे. ‘ब’ मधे असण्याचे प्रकार दोन आहेत, उरलेल्या बसण्याच्या प्रकारांमध्ये ‘ब’ कडेला असणार म्हणून ती संख्या ६-२ = ४ आहे. त्यासाठी पुन्हा संपूर्ण यादी तपासायला नको.’ सतीशने मोजण्याची दुसरी पद्धत वापरली. शीतल म्हणाली, ‘आधीची कोणतीही माहिती नसेल तर ‘ब’ला डावीकडे बसवून (ब, क, अ) आणि (ब, अ, क) असे दोन प्रकार आणि ‘ब’ला उजवीकडे बसवून (अ, क, ब), (क, अ, ब) असे दोन मिळून चार प्रकार किंवा शक्‍यता मिळतात.’ 

‘शाबास! एकच मोजणी वेगवेगळ्या प्रकारांनी करता येते हे तुम्हाला चांगले समजलेय. इथे तीन व्यक्ती आहेत, मोजणी तशी सोपी आहे. चार किंवा पाच व्यक्ती असताना एका ओळीत बसवायच्या असतील, तर त्याचे प्रकार किती, एखादी व्यक्ती कडेला किंवा मधे असण्याची संभाव्यता काय हे करून पाहा. अशा प्रकारची मोजणी सोपी करण्यासाठी युक्ती असते, ती वरच्या वर्गात शिकाल,’ बाईंनी सांगितले. ‘खूप मोठ्या संख्या आणि आकडेमोड यांच्यामुळे गोंधळ होतो. मोठ्या संख्या असल्या, तरी चटकन समजेल अशी काही युक्ती आहे का?’ नंदूने विचारले. मालतीबाई हसून म्हणाल्या, ‘आहे तर! चित्र किंवा आकृती काढून अनेकदा संख्याशास्त्रातले काही निष्कर्ष सांगता येतात. आपण पुढच्या वेळेला पाहू या...’

संबंधित बातम्या