दशांश अपूर्णांक 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 22 मार्च 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज आपण अपूर्णांकाचा वेगळा प्रकार पाहणार आहोत. आपण दशमान पद्धतीने संख्या कशा लिहितो? डावीकडे असलेल्या स्तंभात लिहिलेल्या अंकाची किंमत दहापट होत असते हे माहीत आहे ना? उदाहरणार्थ एककाच्या स्तंभात ७ लिहिला, की तो सात असतो; पण तो दशकाच्या स्तंभात लिहिला, तर ७० आणि शतकाच्या स्तंभात लिहिला, की ७०० होतो हे माहीत आहे ना?’ मालतीबाईंनी मुलांना विचारले. ‘हो, त्यामुळे मोठाल्या संख्या सहज लिहिता वाचता येतात. फक्त ० ते ९ एवढेच अंक वापरून कितीही मोठ्या संख्या लिहिता येतात म्हणून इतर देशात निर्माण झालेल्या संख्यापद्धतींपेक्षा ही सोपी पद्धत आहे,’ शीतल म्हणाली. 

‘आता तीच पद्धत वापरून दशांश अपूर्णांक कसे लिहिता येतात ते पाहू. मोठ्या स्थानावरचा एक अंक मोकळा केला, की लगतच्या उजव्या बाजूच्या लहान स्थानावरचे दहा समान भाग मिळतात होय ना?’ असे बाईंनी विचारल्यावर जरा विचार करून सतीश म्हणाला, ‘होय, एका शतकाचे दहा दशक किंवा शंभराच्या एका नोटेच्या दहा रुपयांच्या दहा नोटा किंवा नाणी मिळतात. दहाची नोट मोडली, तर सुटे रुपये दहा मिळतात.’ ‘बरोबर, तसंच एक रुपया सुटा करून सारखे दहा भाग केले तर प्रत्येक लहान भाग कोणता मिळतो?’ बाईंनी विचारलं. ‘दहा दहा पैशांची दहा नाणी मिळतील,’ शीतलनं उत्तर दिलं. ‘हा झाला रुपयाचा दशांश भाग. मग त्याचे समान दहा भाग केले की मिळतात दहा सुटे पैसे. एक पैसा हा रुपयाचा शतांश भाग, म्हणजे शंभरावा समान भाग आहे. हे भाग पूर्ण रुपयाच्या पुढं, उजव्या बाजूला दाखवताना आधी दशांश चिन्ह म्हणजे एक टिंब लिहितात. मग त्याच्या उजवीकडचा भाग हा झाला दशांश अपूर्णांक. उदाहरणार्थ २५.३ एवढे रुपये म्हणजे पंचवीस रुपये आणि रुपयाच्या दहा समान भागांपैकी तीन भाग म्हणजे तीस पैसे. इथं तीन दशांश, शून्य शतांश किंवा तीस शतांश असं २५.३० असं देखील लिहिता येतं. ते पंचवीस रुपये तीस पैसे असं वाचायला सोपं जातं. एक दशांश म्हणजे दहा शतांश. ८७.४५ रुपये म्हणजे सत्त्याऐंशी रुपये पंचेचाळीस पैसे. वजनाची मापं कोणती वापरतो आपण?’ बाईंनी विचारलं. 

‘किलोग्रॅम, ग्रॅम अशी मापं आपण वापरतो,’ हर्षा म्हणाली. ‘तीही दशमान पद्धतीत, दशांश भाग करत लिहिणं सोपं आहे. ग्रॅम हा किलोग्रॅमचा हजारावा भाग आहे. एक हजार ग्रॅम मिळून एक किलोग्रॅम होतो. पाचशे ग्रॅम म्हणजे अर्धा किलो आणि २५० ग्रॅम म्हणजे पाव किलो हे आपल्याला माहीत आहे. दशांश अपूर्णांकांची एक मजा तुम्हाला माहीत आहे का? त्याच्या अपूर्णांकी भागानंतर कितीही शून्यं दिली तरी त्याची किंमत बदलत नाही.’ बाईंनी सांगितलं. ‘ते का म्हणून?’ नंदू चक्रावला होता. ‘हे पाहा, २.४५ ही संख्या नेहमीच्या व्यवहारी अपूर्णांकात लिहिली तर २ ४५/१०० अशी लिहितात की नाही? कारण चार दशांश म्हणजे चाळीस शतांश आणि पाच शतांश मिळून पंचेचाळीस शतांश होतात. आता ४५/१०० या अपूर्णांकासाठी आपला ‘गोल्डन रूल’ वापरून हाच अपूर्णांक ४५०/१००० किंवा ४५००/१०००० असाही लिहिता येतो ना? म्हणून २.४५  =  २.४५०  =  २.४५००   हे ध्यानात घ्या. याचा उपयोग दशांश अपूर्णांकांच्या बेरजा व वजाबाक्‍या करताना होतो,’ बाईंनी सांगितलं. ‘हे अपूर्णांक वाचायला कठीण आहेत. बेरजा वजाबाक्‍या खरंच सोप्या आहेत का?’ नंदू जरा वैतागलेला दिसला. ‘नक्की सोप्या आहेत. व्यवहारी अपूर्णांकांच्या बेरजा वजाबाक्‍या करताना काय करावं लागतं प्रथम?’ बाईंनी विचारलं. ‘समान छेद करावे लागतात. त्यासाठी आपला ‘गोल्डन रूल’ वापरायचा,’ हर्षानं बरोबर उत्तर देऊन शाबासकी घेतली. ‘साध्या संख्यांच्या बेरजा वजाबाक्‍या येतात ना तुम्हाला? हातचा घेऊनदेखील बेरीज किंवा वजाबाकी करता येते ना? तशीच बेरीज किंवा वजाबाकी दशांश अपूर्णांकांची करायची, फक्त दशांश चिन्हं नीट एकाखाली एक लिहायची, म्हणजे शतकाच्या अंकाखाली शतकाचा, दशकाच्या अंकाखाली दशकाचा, एककाखाली एककाचा, दशांशाखाली दशांशाचा अंक आला पाहिजे. मग हातचा आला, तरी उजव्या बाजूचे दहा लहान भाग मिळून डावीकडचा मोठा भाग होतो. म्हणून हातचा घेण्याचा नियम तोच..’ असं सांगून बाईंनी अशी बेरीज आणि वजाबाकी करून दाखवली. (सोबत आकृती आहे) 

‘दशांश अपूर्णांकांची बेरीज किंवा वजाबाकी करताना समान छेद देण्याची कटकट करावी लागत नाही. काम सोपं होतं की नाही?’ बाईंचं म्हणणं आता नंदूला पटलेलं दिसलं. ‘हो, ही बेरीज किंवा वजाबाकी सोपी आहे खरी. पण मग आपण ते व्यवहारी अपूर्णांक का वापरतो? हे दशांश अपूर्णांकच वापरावेत नेहमी!’ असं नंदूनं विचारलं. बाई हसून म्हणाल्या, ‘खरं आहे तुझं. बेरीज वजाबाकी करताना दशांश अपूर्णांक वापरावेत. पण गुणाकार किंवा भागाकार करताना व्यवहारी अपूर्णांक किंवा परिमेय संख्या काम जास्त सोपं करतात. त्यामुळं  काटाकाटीचं गणित करता येतं. कसं ते पुढच्या वेळी पाहू.’

संबंधित बातम्या