सत्यासत्यतेचं कोष्टक

मंगला नारळीकर
सोमवार, 30 सप्टेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

हर्षाने सत्यासत्यतेच्या कोष्टकाबद्दल तिची एक शंका विचारली. त्यासाठी गेल्या वेळेचे कोष्टक पुन्हा पाहू...  

पांढऱ्या, निळ्या किंवा पिवळ्या पाकिटात २००० रुपयांची नोट आहे आणि प्रत्येक पाकिटावर अशी विधाने आहेत - 
पांढरे पाकीट - निळ्या पाकिटात नोट नाही. 
निळे पाकीट - पिवळ्या पाकिटात नोट आहे. 
पिवळे पाकीट - या पाकिटात नोट 
नाही. 

हर्षाचा प्रश्‍न असा - ‘हे सत्यासत्यतेचे कोष्टक बरोबर वाटत नाही. कारण नोट एकाच पाकिटात आहे. पांढऱ्या पाकिटावरील विधानाप्रमाणं ती पांढऱ्या पाकिटात आहे आणि पिवळ्या पाकिटातदेखील आहे, असं आपण लिहिलं, हे कसं बरोबर आहे? तसंच पिवळ्या पाकिटावरील विधानाप्रमाणं ती नोट पांढऱ्या आणि निळ्या पाकिटातदेखील आहे, असं म्हटलं आहे, हे बरोबर दिसत नाही.’ मालतीबाई म्हणाल्या, ‘तुझी शंका बरोबर आहे. हे कोष्टक खरं म्हणजे शक्याशक्यतेचं कोष्टक आहे. पांढऱ्या पाकिटावरील विधानाप्रमाणं नोट निळ्या पाकिटात नाही, म्हणजे ती उरलेल्या दोन्हीपैकी कोणत्याही पाकिटात असू शकते. ती शक्यता T नं दाखवली आहे. खरं म्हणजे T for truth ऐवजी P for possible आणि F for false ऐवजी I for impossible असंही लिहिता येईल. पण T आणि F ही अक्षरं लिहिण्याचा प्रघात पडला आहे. कारण कोष्टकावरून अखेर काय खरं, काय खोटं हे ठरवलं जातं.’ ‘आपण आणखी एक कोडं सत्यासत्यतेच्या; नव्हे, शक्याशक्यतेच्या कोष्टकानं सोडवण्याचा प्रयत्न करू या का?’ सतीशनं विचारलं. 

आता बाईंनी नवं कोडं दिलं... ‘अनू, बनू, कनू आणि धनू ही चार मुलं एका बागेजवळून शाळेत येत असताना त्यातल्या एकानं बागेतला पेरू तोडला अशी तक्रार तेथील माळ्यानं केली. मास्तरांनी विचारलं, ‘हे कृत्य कोणी केलं?’ प्रत्येकानं पुढीलप्रमाणं उत्तर दिलं. 

अनू म्हणाला, ‘बनूनं पेरू तोडला.’ बनू म्हणाला, ‘धनूनं पेरू तोडला.’ कनू म्हणाला, ‘मी नाही पेरू तोडला.’ तर धनू म्हणाला, ‘बनू खोटं बोलतोय.’ माळीदेखील आला होता. तो म्हणाला, ‘यातला एकच खरं बोलतोय, बाकीचे खोटं बोलताहेत.’ आता कोण दोषी आहे, हे मास्तर कसं ठरवतील?’ सतीश म्हणाला, ‘अर्थात शक्याशक्यतेचं कोष्टक तयार करून! आपण ते करू.’ असं म्हणून मुलांनी कोष्टक तयार केलं. 

अनू दोषीच्या उभ्या कॉलममध्ये possible चे दोन P आणि Imposible चे दोन I आहेत, म्हणजे दोघं खरं 
बोलतात तर दोघं खोटं. बनू दोषीच्या कॉलममध्ये एक I तीन P आहेत. म्हणजे एक खोटं, तर तीन खरं सांगतात. कनू दोषीच्या कॉलममध्ये एक खरं आणि तीन जण खोटं बोलत आहेत. धनू दोषीच्या कॉलममध्ये पुन्हा दोघं खरं आणि दोघं खोटं बोलत आहेत म्हणून कनू दोषी आहे असं मुलांनी ठरवलं. कारण माळी म्हणाला होता, की एकच खरं बोलतोय, उरलेले खोटं बोलतात. 

हर्षानं आता कबूल केलं, की प्रत्येकाच्या विधानाप्रमाणं आडव्या ओळी भरताना कॉलमच्या वरची स्थिती शक्य की अशक्य असा विचार केला, तरी उभ्या कॉलमचं वाचन करताना शक्य स्थिती सत्य आणि अशक्य स्थिती असत्य असं ठरवणं सोयीचं आहे, म्हणून T आणि F हीच अक्षरं भरावीत. 
बाई म्हणाल्या, ‘आता हेच कोष्टक वापरा आणि सांगा की एक जण खोटं बोलतोय आणि तीन जण खरं बोलत आहेत अशी माहिती असेल, तर कोणी पेरू तोडला? सगळेच खोटं बोलत असणं शक्य आहे का?’    

संबंधित बातम्या