तराजू आणि वजनकाट्याचं कोडं  

मंगला नारळीकर
सोमवार, 9 सप्टेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज मला जमेल असं सोपं कोडं दे ना आजी!’ नंदूनं आल्या आल्या विनवलं. मालतीबाई हसून म्हणाल्या, ‘ठीक आहे. समजा तुझ्यासमोर तीन बुंदीचे किंवा रव्याचे लाडू ठेवले. तीनही अगदी सारखे दिसतात, पण त्यातल्या एकात दहा रुपयांचं नाणं लपवलं आहे. तर तू नाणं असलेला लाडू कसा ओळखशील?’ नंदू लगेच म्हणाला, ‘मी तीनही लाडू खाऊन पाहीन. मग समजेलच कोणत्या लाडवात नाणं आहे ते!’ ‘वा रे वा! तीनही लाडू तूच खाणार का? अधाशी कुठला!’ हर्षा म्हणाली, ‘आपण सुरी घेऊन ते लाडू कापू, म्हणजे नाणं कुठल्या लाडवात आहे ते कळेल आणि सगळेजण अर्धा अर्धा लाडू खातील.’ बाई म्हणाल्या, ‘लाडू कापायचे किंवा खायचे नाहीत. पण एक तराजू मिळेल तो एकदाच वापरून ठरवता येईल का कोणत्या लाडवात नाणं आहे ते? नंदू तुला जमेल ते! करून पाहा!’ ‘दोन लाडवांची तुलना करून जड कोणता हे ठरवता येईल. पण कदाचित दोन वेळा तराजू वापरावा लागेल,’ नंदू प्रथम म्हणाला. ‘थोडा विचार कर, एकदाच तराजू वापरूनदेखील हे जमेल,’ शीतल म्हणाली. 

मग नंदूनं सावकाश उत्तर शोधलं. ‘आधी कोणतेही दोन लाडू तराजूच्या दोन पारड्यात ठेवू. दोन्हीपैकी एक जड असेल, तर जड लाडवात नाणं आहे. दोन्ही लाडू सारख्याच वजनाचे असले, तर उरलेला वेगळा म्हणजे जड असणार, त्यात नाणं असल़ं पाहिजे!’ ‘शाबास!’ बाई म्हणाल्या, ‘आता जर एकूण सात सारखे लाडू असले आणि त्यातल्या एकात नाणं असल्यामुळं तो जड असला, तर कमीत कमी किती वेळा तराजू वापरून नाणं असलेला लाडू शोधाल?’ आता हर्षानं उत्तर शोधलं. ती म्हणाली, ‘आधी एका एका पारड्यात तीन तीन लाडू ठेवू. त्यातलं एक पारडं जड असेल, तर त्यात जड लाडू असेल, आणखी एकदा तराजू वापरून तो शोधू. दोन्ही पारडी सारखी असली, तर उरलेला सातवा लाडू जड असेल.’ शीतल म्हणाली, ‘याच पद्धतीनं नऊ लाडवातला जड लाडू शोधता येईल. तीन तीन लाडवांचे तीन वाटे करून त्यातला जड वाटा शोधायला एकदा तराजू वापरू आणि त्या वाट्यातला जड लाडू शोधायला आणखी एकदा तराजू वापरू.’ ‘शाबास. आता तराजूऐवजी वजनकाटा आहे असे समजू. त्यावर ठेवलेल्या वस्तूचं वजन समजतं. सामान्य म्हणजे नाणं नसलेल्या लाडवाचं वजन माहीत आहे. तर वीस लाडवांमधील एक जड लाडू कसा ओळखाल?’ बाईंनी प्रश्न बदलला. नंदू म्हणाला, ‘एकेका लाडवाचं वजन पाहायचं म्हणजे वेळ लागेल. इथंदेखील लाडवांचे गट करूया. ५ - ५ लाडवांचे ४ गट करू. जास्तीत जास्त ३ वेळा वजन केलं, की जड लाडू असलेला ५ लाडवांचा गट मिळेल. मग जास्तीत जास्त दोन वेळा वजन काटा वापरून जड लाडू मिळेल.’ 

मालतीबाईंनी समजावलं, ‘यात पाच वेळा वजनकाटा वापरावा लागेल कदाचित. मोठी संख्या असेल तर जवळपास अर्ध्या संख्येचे दोन भाग करून कोणत्या भागात जड लाडू आहे हे शोधणं फायद्याचं असतं. २० चे १० आणि १० असे दोन भाग करू, एकदा वजनकाटा वापरून कोणत्या भागात जड लाडू आहे हे शोधू. समजा एका लाडवांच्या भागात तो असला, तर १० चे ५ आणि ५ असे भाग करून त्यातल्या कोणत्या भागात जड लाडू आहे हे शोधू. मग वजनकाट्याच्या जास्तीत जास्त २ वापरात जड लाडू सापडेल. म्हणजे जास्तीत जास्त चार वेळा वजन काटा वापरावा लागेल. तुम्ही २५ किंवा ३० अशी संख्या घेऊन विविध प्रकारे विभागणी करून, कोणत्या विभागणीत कमीत कमी वेळा काटा वापरावा लागतो ते पाहा... आता एक वेगळं कोडं देते. एका कारखान्यात १० ग्रॅम वजनाच्या चांदीच्या गोल चकत्याची जरुरी होती, एकूण आठ जणांना प्रत्येकी १०० चकत्यांची ऑर्डर दिली होती. त्यातल्या एकानं लबाडी करून प्रत्येक चकतीचं वजन अर्ध्या ग्रॅमनं कमी केलं असं समजलं. सगळ्या पिशव्या दिसायला सारख्या आहेत. एक अचूक वजन करणारा वजनकाटा आहे. त्यावर काही चकत्यांचं एकदाच वजन करून कमी वजनाच्या चकत्यांची पिशवी ओळखता येईल का हे शोधा. विचार करा, उत्तर नाही आलं, तर पुढच्या वेळी देईन...’

संबंधित बातम्या