गोगलगायीची चाल 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 19 ऑगस्ट 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज नंदूनं एक कोडं आणलं होतं. त्यानं ते सर्वांना सांगितलं... “एक गोगलगाय विहिरीच्या तळाशी आहे. विहिरीची भिंत फार गुळगुळीत आहे. ती दिवसा रोज दीड मीटर विहिरीच्या उभ्या भिंतीवर चढते आणि रात्री झोपली, की एक मीटर खाली घसरते. विहीर जर सहा मीटर खोल असेल, तर गोगलगाय किती दिवसांनी काठावर पोचेल?” हर्षा म्हणाली, “गोगलगाय रोज दिवसा दीड मीटर चढते, रात्री एक मीटर घसरते, म्हणजे अर्धाच मीटर चढली असं दिसतं, रोज अर्धा मीटर म्हणजे सहा मीटर वर जायला बारा दिवस लागतील असं वाटतं!” नंदू लगेच म्हणाला, “चुकलं! तुझं उत्तर चुकलं! मी सांगतो, बारा दिवस लागतील असं वाटलं, तरी नीट विचार करायला हवा. ८ दिवस, ८ रात्री गेल्या, की ती चार मीटर वर असेल, ९ दिवस आणि ९ रात्री गेल्या की ती साडेचार मीटर वर गेलेली असेल. दहाव्या दिवशी सकाळी चढायला सुरुवात करेल, दीड मीटर चढून गेली की काठावर पोचेल! झोपण्यापूर्वी काठावर पोचली, की घसरायचं कारण नाही! ती दहा दिवसात काठावर पोचेल!” 

“चांगलं कोडं आणलंस नंदू. आता तसलंच पण जरा वेगळं कोडं पाहू या...” मालतीबाई म्हणाल्या. “आजीचं कोडं अवघड असणार!” नंदूनं तर्क केला. “फार अवघड नाही, पण तुम्हाला विचार करायला जास्त वेळ देते ना! ही आकृती पाहा.” असं म्हणून त्यांनी एक चित्र काढून दिलं.  

“यात ही गोगलगाय अब या चढावर चढत आहे. दिवस आणि रात्र बारा बारा तासाचे आहेत. ती नंदूच्या गोगलगायीप्रमाणं दिवसा बारा तासात दीड मीटर चढते, रात्री बारा तास झोपते, तेव्हा एक मीटर घसरून खाली येते. अब हा चढ सहा मीटर लांबीचा आहे. ब या शिखरावर तिला जेमतेम झोपण्याएवढी जागा आहे. एक रात्र तिथं झोपून ती बक या उतारावरील सहा मीटर रस्त्यानं खाली येते. अब आणि बक हे बरोबर सारख्या चढाचे आणि सारख्या लांबीचे रस्ते आहेत. तिच्या एकूण प्रवासाला किती दिवस लागतील?” 

“इथे खरंच जास्त विचार करायला हवा. ती पहिल्याप्रमाणं दहा दिवसात अब हा चढ चढून जाईल. दहाव्या रात्री शिखरावर झोपेल. पण नंतर खाली उतरताना काय वेग असेल?” सतीशनं प्रश्‍न केला. “इथंच बाईंच्या कोड्याचं वेगळेपण आहे. विचार करायला हवा. खाली उतरताना तिचा वेग जास्त असणार!” शीतल म्हणाली. “हे नदीतून होडीत बसून जाणाऱ्या माणसाच्या वेगासारखं गणित आहे! होडीचा संथ पाण्यातला वेग आणि नदीच्या पाण्याचा वेग दोन्ही ध्यानात घ्यायला हवेत,” हर्षा म्हणाली. “बरोबर! गोगलगायीचा सपाटीवरील वेग आणि काही करत नसताना उतारावरून घसरण्याचा वेग हे दोन्ही ध्यानात घ्यायला हवेत. घसरण्याचा वेग बारा तासात एक मीटर आहे, तर चढण्याच्या वेगातून घसरण्याचा वेग वजा केला, की तो वेग बारा तासात दीड मीटर आहे. म्हणजे बारा तासात न घसरता फक्त चालण्याचा वेग अडीच मीटर आहे. पण बक वरून चालताना ती घसरणारदेखील आहे. दिवसा बारा तासात ती अडीच मीटर उतरेल, तर रात्री आणखी एक मीटर घसरेल. दुसरा दिवस उजाडेल तेव्हा ती त्या रस्त्यावर साडेतीन मीटर खाली आलेली असेल,”  शीतलनं सावकाश गणित केलं. आता सतीशनं ते पुरं केले. तो म्हणाला, “दुसऱ्या दिवशी सकाळी क पासून ती अडीच मीटर अंतरावर असेल, ते अंतर ती बरोबर एका दिवसात चालून जाईल. म्हणजे एकूण अंतर दहा आणि दोन अशा बारा दिवसांत चालून होईल. बारावा दिवस संपून रात्र झाली, की ती क वर पोचेल.” 

“शाबास!” बाईंनी शाबासकी दिली. नंदूचा  शेरा आला, “आपली गोगलगाय फक्त चालत नसून चालणं आणि घसरणं अशा दोन्ही क्रिया करत असते. त्यांचा मेळ घालायला हवा.”

संबंधित बातम्या