असे किती जादूचे चौरस असतील? 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 12 ऑगस्ट 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

“आपण ९ चौकोनांचा जादूचा चौरस पहिला होता आणि १ ते ९ अंकांचे असे किती चौरस तयार करता येतील हे तुम्ही शोधणार होतात...” मालतीबाईंनी सुरुवातीला आठवण करून दिली. नंदू म्हणाला, “आम्ही हा चौरस हळूहळू गोल फिरवून असे एकूण चार चौकोन करू शकतो.” 
“असं गोल फिरवून चार चौरस मिळतात. अगदी नवीन चौरस तयार करण्यासाठी आपण सुरुवातीपासून पायरीपायरीने विचार करूया. या नऊ चौकटीत १ ते ९ संख्या अशा भरायच्या की प्रत्येक ओळीतील तीन संख्यांची बेरीज समान, १५ येईल. १ ते ९ या संख्यांची बेरीज ४५ आहे. तीन आडव्या ओळींची, तीन उभ्या ओळींची आणि दोन कर्णांची बेरीज प्रत्येकी १५ येते, हे आपण पाहिलं होतंच! ९ या संख्येपासून सुरुवात करू. ज्या रेषेत ९ आहे, त्या रेषेतल्या इतर दोन संख्या कोणत्या असतील बरं?” बाईंच्या प्रश्नाला सतीशनं उत्तर दिलं. “उरलेल्या दोन संख्यांची बेरीज ६ असायला हवी कारण तीनही संख्यांची बेरीज १५ आहे. म्हणून उरलेल्या दोन संख्या १ आणि ५ किंवा २ आणि ४ असू शकतील. ३, ६, ७ किंवा ८ असू शकणार नाहीत. प्रत्येक संख्या एकदाच लिहायची, तर ६ ची बेरीज ३ + ३ असू शकणार नाही.” “आता ९ ही संख्या कोपऱ्यातल्या चौकटीत असू शकेल का?” बाईंचा प्रश्न आला. हर्षानं उत्तर दिलं, “नाही! कारण कोपऱ्यातली संख्या तीन वेगवेगळ्या त्रिकुटात येते. ९ साठी दोनच त्रिकुटं आहेत, ज्यांची बेरीज १५ आहे. म्हणून ९ ही संख्या बाहेरच्या कोणत्याही रेषेच्या मध्यावरच्या चौकोनात येते. तीच गोष्ट १, ७ आणि ३ यांची आहे.” आता नंदूनं प्रयत्न केला. “६ या संख्येसाठी उरलेल्या दोन संख्यांची बेरीज ९ आहे म्हणून १ + ८, २ + ७,  आणि ३ + ६ आणि ४ + ५ अशा चार जोड्या आहेत. त्यातली ३ + ६ चालणार नाही, कारण मग ६ दोनदा येतो. म्हणजे ६ साठी तीन जोड्या आहेत, म्हणून ६ कोपऱ्यातल्या चौकोनात ठेवू. याच कारणासाठी २, ४ आणि ८ या संख्या कोपऱ्यातल्या चौकोनात ठेवायला हव्यात.” 

शीतलनं ठरवलं, “मध्यावरील चौकोनातली संख्या एकूण चार त्रिकुटांत येते. ५ ही एकच संख्या तशी आहे. तिच्यासाठी १ + ९, २ + ८, ३ + ७ आणि ४ + ६ अशा चार जोड्या उरलेल्या १० या संख्येसाठी आहेत. म्हणून ५ हीच संख्या मधोमध येते.” “आता २, ४, ६ आणि ८ या संख्या कोपऱ्यात आहेत, ५ चौरसाच्या मध्यावर आणि उरलेल्या विषम संख्या १, ३, ७ आणि ९ या बाहेरच्या रेषांच्या मध्यावर एवढं निश्चित झालं आहे. मग त्यांच्या किती रचना होतात ते पाहणं अवघड नाही. एका कोपऱ्यात ८ असेल, तर समोरच्या कोपऱ्यात २ येणार, उरलेल्या दोन कोपऱ्यांत ४ आणि ६ यांच्या दोन शक्यता आहेत. त्यांच्या जागा ठरल्या, की मधल्या विषम संख्या ठरल्याच! कारण प्रत्येक रेषेतल्या तीन संख्यांची बेरीज १५ आहे. म्हणजे गोल फिरवून येणारे प्रकार सोडले, तर एकूण दोनच वेगवेगळ्या शक्यता आहेत जादूचा हा चौरस भरण्यासाठी!” सतीशनं उत्तर काढलं. “प्रत्येक शक्यता फिरवून चार प्रकार म्हणजे या जादूच्या चौरसाचे एकूण ८ प्रकार झाले.” 

शीतलनं मोठ्या जादूच्या चौरसांचा प्रश्न काढला. ती म्हणाली, “गेल्या वेळी तुम्ही ४ X ४ अशा १६ चौकटींचे दोन चौकोन दिले होते. त्यात प्रत्येक ओळीतील संख्यांची बेरीज ३४ होती. तसे अनेक चौकोन करता येतात का? त्यांची काय रीत आहे?” बाईंनी सांगितले, ‘‘होय! तसे अनेक वर्गसंख्यांचे जादूचे चौरस बनवले आहेत गणिती लोकांनी. त्यांच्या रीती मात्र क्लिष्ट आहेत. तुम्हाला वेळ आणि हौस असेल, तर तुम्ही त्या रीती शिकू शकता.’’

संबंधित बातम्या