काळ, काम, वेग आणि कामगार संख्या

मंगला नारळीकर
सोमवार, 22 जुलै 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आज एक सोपंसं कोडं देते... पाहा कसं सोडवता येतं ते!’ असं म्हणून मालतीबाईंनी कोडं सांगायला सुरुवात केली. ‘एका कपड्यांच्या कारखान्यात मुलांच्या कोटांची मोठी ऑर्डर आली होती. निळ्या आणि हिरव्या रंगाचे सारख्या आकाराचे कोट हवे होते. हिरवे कोट निळ्या कोटांच्या दुप्पट संख्येत हवे होते. शिवणाऱ्या बायकांना बोलावण्यात आले. रोज सकाळी ९ ते १ आणि मग २ ते ६ वाजेपर्यंत त्या काम करतात. हिरवे कोट जास्त शिवायचे होते, म्हणून सगळ्यांनी पहिल्या दिवशी हिरवे कोट शिवायला घेतले. दुपारी १ पर्यंत त्या फक्त हिरवे कोट शिवत होत्या. दुपारी २ वाजता निम्म्या बायका निळे कोट शिवायला लागल्या, निम्म्या हिरवेच शिवत होत्या. ६ वाजता हिरवे कोट सगळे शिवून झाले होते आणि काही निळे कोट शिवायचे शिल्लक होते. दुसऱ्या दिवशी फक्त दोन बायकांना बोलावण्यात आले, त्यांनी नेहमीप्रमाणे ८ तास शिवण केले आणि सगळे काम पुरे झाले. आता सांगा, पहिल्या दिवशी किती बायका काम करायला आल्या होत्या?’

मुलं विचारात पडली. ‘हे कसं सांगणार? दुसऱ्या दिवशी दोनच बायका आल्या, पण पहिल्या दिवशी बऱ्याच आल्या असणार! त्यांची संख्या ओळखणं कसं शक्‍य आहे?’ हर्षा म्हणाली. शीतल म्हणाली, ‘बीजगणित वापरायचं का? निळे कोट क आणि हिरवे कोट २क हवे होते असं मानता येईल. पहिल्या दिवशी ब बायका आल्या असं मानूया कारण दुपारी निम्म्या बायकांनी निळे कोट शिवायला घेतले, म्हणजे बायकांची संख्या सम होती.’ ‘शाबास. आता बाकीची माहिती वापरून पाहा.’ 

बाईंचं उत्तेजन ऐकून सतीश म्हणाला, ‘पहिले ४ तास बायकांनी एकूण ४ गुणिले २ब म्हणजे ८ब तास काम केलं. इथं प्रत्येक कामगाराचे कामाचे तास मोजले. नंतरच्या ४ तासांत ब बायका निळे तर ब बायका हिरवे कोट शिवत होत्या.’ ‘मग हिरवे कोट शिवायला बायकांचे एकूण ८ब + ४ब असे १२ब तास लागले. निळे कोट निम्मे होते, त्यांना एकूण ६ब तास लागले असणार.’ हर्षाने मोजणी केली. ‘पहिल्या दिवशी निळ्या कोटांना ४ब तास मिळाले. दुसऱ्या दिवशी २ब तास हवे होते, तेव्हा दोन बायकांनी मिळून १६ तास दिले म्हणजे २ब = १६. तर पहिल्या दिवशी २ब म्हणजे १६ बायका आल्या होत्या.’ शीतलनं गणित पुरं केलं. 

‘पण आम्हाला अजून बीजगणित नाही वापरता येत! त्याशिवाय नाही का करता येणार हे गणित?’ नंदूने विचारले. ‘का नाही? पण जरा साधे अपूर्णांक वापरता आले पाहिजेत. पहिल्या दिवशी बायकांचे एकूण जेवढे कामाचे तास झाले, त्यातले तीन चतुर्थांश हिरवे कोट शिवायला खर्च झाले. निळे कोट निम्मे होते, म्हणून त्यांना हिरव्या कोटांना जो वेळ लागला, त्याच्या निम्मा वेळ लागणार. तो आहे पहिल्या दिवसाच्या एकूण वेळाचा तीन अष्टमांश किंवा तीन छेद आठ पट. त्यातला एक चतुर्थांश पहिल्या दिवशी खर्च झाला. किती उरला दुसऱ्या दिवसासाठी?’ बाईंनी विचारलं. नंदूनं सावकाश वजाबाकी केली. ‘तीन छेद आठ वजा एक छेद चार म्हणजे समान छेद करून तीन छेद आठ वजा दोन छेद आठ म्हणजे एक छेद आठ! पहिल्या दिवसाचा एक छेद आठ किंवा एक अष्टमांश भाग दुसऱ्या दिवशी तयार झाला.’ ‘तेवढे निळे कोट शिवायला २ बायका दिवसभर काम करत होत्या. पहिल्या दिवशी त्याच्या आठपट म्हणजे १६ बायका आल्या होय ना?’ बाईंनी विचारलं. ‘अपूर्णांक घेऊन त्यांच्या बेरजा वजाबाक्‍या करण्यापेक्षा मला बीजगणित सोपं वाटतं.’ हर्षानं सांगितलं. ‘कोणतीही रीत सावकाश, व्यवस्थित वापरली, की गणित जमतं करायला. एकदा ताळा करून पाहा, म्हणजे उत्तरापासून सुरुवात करून बाकीचं गणित जुळतं आहे ना पाहा. १६ बायका आल्या, त्यातल्या ८ जणींनी पूर्ण दिवस तर ८ जणींनी अर्धा दिवस हिरवे कोट शिवले. म्हणजे १२ कामगार दिवस हिरव्या कोटांना लागले, पहिल्या दिवशी ८ जणींचा अर्धा दिवस म्हणजे ४ कामगार दिवस निळ्या कोटांना मिळाले. निळ्या कोटांना १२ च्या निम्मे म्हणजे ६ कामगार दिवस हवे होते त्यातले २ दुसऱ्या दिवशी मिळाले. सगळं बरोबर जमलं!’

संबंधित बातम्या