वर्तुळाकार रचना 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 1 जुलै 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...
 

‘आज थोड्या वेगळ्या प्रकारच्या रचना पाहू या...’ बाईंनी सुरुवात केली. ‘तुम्ही चार जण आहात. गेल्या वेळेला पाहिले, की हे चार जण एका रेषेत बसवायचे असतील, तर त्यांच्या ४! एवढ्या रचना होतात. पण या सर्वांना गोल टेबलाभोवती बसवायचं असेल तर किती वेगवेगळ्या रचना होतील?’ 

‘सरळ रेषेतली रचना दोन्ही टोकं जोडून वर्तुळाकार करता येते ना?’ हर्षानं विचारलं. ‘प्रत्येक रेषेचं वर्तुळ बनवता येईल. त्यात वेगळा मुद्दा काय?’ नंदूनं विचारलं. ‘वर्तुळाकार रचना असेल, तर त्यात सुरुवात कोणती, शेवट कोणता हे ठरलेलं नसतं. रेषीय रचनेत ते गृहीत असतं. हेच उदाहरण पाहू. शीतलसाठी श, नंदूसाठी न, हर्शासाठी ह आणि सतीशसाठी स ही अक्षरं घेऊन वर्तुळाकार रचना पाहा... (खाली दिलेली आकृती पहा) यात ही वर्तुळाकार रचना एका ठिकाणी कापून तिची रेषीय रचना केली. तीच इतर तीन ठिकाणी कापून आणखी तीन रेषीय रचना होतात. एकूण चार वेगळ्या रेषीय रचना एका वर्तुळाकारातून मिळतात. या चारही रेषीय रचना एकच वर्तुळाकार रचना तयार करतात; वर्तुळाकार रचना वर्तुळमध्याभोवती गोल फिरवली, तर बदलत नाही, सर्वांचे एकमेकांशी संबंध तेच राहतात. हे ध्यानात ठेवा.’ 

‘म्हणजे रेषीय रचनांची संख्या वर्तुळाकार रचनांच्या चौपट आहे ना?’ शीतलनं विचारलं. ‘बरोबर! म्हणून या वर्तुळाकार रचनांची संख्या ४!/४ किंवा ३! = ६ आहे. असाच विचार करून आपण पाचजण वर्तुळाकार करून बसलो, तर रचनेच्या किती शक्‍यता आहेत बरं?’ बाईंनी विचारलं. आता सतीशनं उत्तर दिलं, ‘५!/५ = ४! = २४.’ ‘शाबास!’ इति मालतीबाई. 

हर्षानं वेगळा मुद्दा सांगितला. ती म्हणाली, ‘आमच्या घरात आजोबा धरून आम्ही पाच माणसं आहोत. गोल टेबलाजवळ आजोबांची खुर्ची ठरलेली असते, त्यांची जागा बदलत नाही. आम्ही इतर कुठंही बसू शकतो. मग किती शक्‍यता असतील?’ बाई म्हणाल्या, ‘हा वेगळा प्रश्‍न आहे. यात वर्तुळाकार रचना आहे, पण आजोबांच्या खुर्चीची जागा अचल आहे. इतर चार खुर्च्यांना ओळीनं क्रमांक देऊ. प्रत्येक रचना एकेक वेगळी रेषीय रचना देईल. या रेषीय रचना किती आहेत ते मोजू. इतर ४ माणसांपैकी पहिल्या माणसाला ४ शक्‍यता आहेत, दुसऱ्याला ३, तिसऱ्याला २ आणि चौथ्याला उरलेली १ जागा, याप्रमाणं ४! हेच उत्तर इथं आहे. कारण मात्र वेगळ्या प्रकारे दिलं आहे. आजोबांची खुर्ची ठरलेली आहे म्हणून उरलेली माणसं एका दिशेनं, क्रमांकानं १ ते ४ संख्यांच्या खुर्च्या घेणार. म्हणून ४! हे उत्तर मिळालं.’ 

शीतल म्हणाली, ‘होकायंत्रात उत्तर, दक्षिण, पूर्व, पश्‍चिम अशा चार दिशा चार बाणांनी दाखवल्या आहेत. लाल, निळा, पिवळा व हिरवा या चार रंगांनी ते बाण रंगवायचे आहेत; त्यांच्या किती शक्‍यता होतील?’ सतीशला प्रश्‍न पडला, ‘आधी पाहिलं तसे चार रंग वर्तुळाकार रचनेत ३! प्रकारांनी येतील का?’ बाईंनी समजावलं, ‘नाही. इथं वर्तुळाकार रचना असली, तरी ती गोल फिरवून उत्तर वेगळं मिळतं, रंगांची एकमेकांशी स्थिती आणि दिशांची नावं दोन्ही पाहावी लागतात. (कृपया वरील आकृती पहा) इथं चारही बाण क्रमानं दिले असून चार रंगांनी रंगवायचे आहेत म्हणून उत्तर ४! येतं, ३! नाही. ही वर्तुळाकार रचना केवळ एकमेकांशी सापेक्ष नसून टेबलाच्या जागेशी म्हणजे दिशेशीदेखील सापेक्ष आहे. ही रचना रेषीय रचनेप्रमाणं तयार करावी लागते.’ 

‘एकूण जरा किचकट आहेत या मोजण्या...’ नंदू म्हणाला. ‘शिवाय ओळीत किंवा वर्तुळात बसताना जर दोन मित्रांना जवळ जवळ बसायचं असेल तर या शक्‍यता कमी होतील ना?’ ‘हो तर! नीट विचार करून सगळे प्रकार किंवा शक्‍यता मोजाव्या लागतात. तू सांगितलेला मुद्दा आपण पुढच्या वेळी विचारात घेऊ...’ बाई म्हणाल्या.

संबंधित बातम्या