संख्याश्रेणीची बेरीज 

मंगला नारळीकर
सोमवार, 1 एप्रिल 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...
 

हर्षा म्हणाली, ‘एक गंमत सापडली आज. विषम संख्यांची यादी करत होते, त्या आहेत १, ३, ५, ७ अशा..’ ‘ते तर माहीत आहे आपल्याला. दोन - दोन मिळवत पुढच्या विषम संख्या मिळवता येतात होय ना? मग ९, ११, १३ अशा ओळीने विषम संख्या मिळतात,’ नंदू म्हणाला. ‘पण त्यांची हळूहळू बेरीज करायला लागले, तर ती गंमत दिसली. १ + ३ = ४ = २ चा वर्ग. त्यात पुढची विषम संख्या मिळवली, की १ + ३ + ५ = ९, हा आहे ३ चा वर्ग. अशीच बेरीज करत राहिले, तर पुढच्या पूर्ण संख्यांचे वर्ग ओळीने मिळतात. १ + ३ + ५ + ७ = १६, १ + ३ + ५ + ७ + ९ = २५, म्हणजे ओळीने कितीही विषम संख्यांची बेरीज केली तर वर्ग संख्या मिळते हा नियम बरोबर आहे ना?’ हर्षाने विचारले. 

मालतीबाई म्हणाल्या, ‘शाबास, तुला हा नियम बरोबर सापडला आहे. तो आपण सिद्ध करू शकतो. पण त्याआधी तो नीट सांगायला हवा. कोणतीही विषम संख्या २ स + १ अशी व्यक्त करता येते. पहिली विषम संख्या १ ही २ × ० + १ अशी सांगू. दुसरी २ × १ + १ अशी, तर स वी संख्या २ × (स - १) + १ अशी व्यक्त करता येते. मग आपले प्रमेय किंवा नियम हा १ + ३ + ५ + ... + (२ स - १) = स चा वर्ग असा सांगता येतो. तो कसा सिद्ध करायचा यावर विचार करा.’ नंदू म्हणाला, ‘हर्षाने पडताळून दाखवले आहे की स = ०, १, २ किंवा ३ असतानासुद्धा हा नियम बरोबर आहे. तसेच स च्या इतर किमतींसाठी होणार.’ शीतल म्हणाली, ‘पण स च्या किमती अनंत आहेत. सगळ्यांसाठी पडताळता येणार नाही. त्याकरता कोणत्याही एका स साठी नियम सत्य आहे हे मानून तो (स + १) साठी सत्य आहे हे दाखवले पाहिजे.’ ‘बरोबर, ही आहे ‘मॅथेमॅटिकल इंडक्‍शन’ची पद्धत. या पद्धतीने स च्या कोणत्याही धन पूर्णांक किमतीसाठी नियम सिद्ध झाला असे मानतात. ते असे दाखवता येईल... (आकृती १ पहा) ध्यानात घ्या की २ स - १ च्या पुढची विषम संख्या २ स + १ ही आहे,’ बाईंनी सिद्धता दिली. शीतलने सांगितले, ‘आम्हाला १ ते स या संख्यांची बेरीज शिकवली आहे, ती वापरूनही सिद्धता देता येईल.’ (आकृती २ पहा) 

‘एवढी समीकरणे नाही बुवा आपल्याला झेपत. जरा सोपी सिद्धता नाही का?’ नंदूने तक्रार केली. बाई म्हणाल्या, ‘एक चित्रमय सिद्धता आहे, ती पाहू या. कोणतीही वर्ग संख्या ठिपक्‍यांनी एक चौरस तयार करते हे पाहा.’ असे म्हणून त्यांनी एक चित्र काढले. (आकृती ३ पहा) ‘यात प्रत्येक विषम संख्या आधीच्या चौरसाजवळ ठिपके काढून दाखवली आहे. ती उलट्या इंग्रजी L अक्षरासारखी आहे. प्रत्येक वेळी अशी संख्या मिळवली की बेरजेचे एकूण ठिपके बरोबर पुढची वर्गसंख्या तयार करतात, हे चटकन समजते की नाही?’ ‘अशी बेरीज म्हणजे पुढची वर्गसंख्या आहे, हे चित्रातून छान समजले. ही सिद्धता आवडली आपल्याला,’ नंदू म्हणाला.

संबंधित बातम्या