प्रमाणाचे प्रकार 

मंगला नारळीकर
मंगळवार, 29 जानेवारी 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आजी, तू गेल्या वेळेला कोडे दिले होतेस ते नंदूने आणि मी खूप प्रयत्न करून सोडवले,’ हर्षा आल्याबरोबर म्हणाली. ‘काय होते बरे ते कोडे?’ असे विचारताच नंदू म्हणाला, ‘आज आईचे वय मुलाच्या वयाच्या पाचपट आहे, सात वर्षांनी आईचे वय मुलाच्या वयाच्या तिप्पट असेल. तर त्यांची आज वये काय आहेत? आम्ही आधी मुलाचे वय १०, आईचे वय ५० वर्षे घेऊन पाहिले. पण ७ वर्षांनी १७ ची तिप्पट काही ५७ होणार नाही. मग मुलाचे वय ३ घेऊन पाहिले. आज त्यांची वये ३ आणि १५ असू शकत नाहीत. असे पाहता पाहता मुलाचे वय ७ आणि आईचे वय ३५ असेल तर पुढची माहिती बरोबर येते, म्हणजे ७ वर्षांनी मुलाचे वय १४, आईचे वय ४२ होईल.’ 
 मालतीबाईंनी शाबासकी दिली आणि त्या पुढे म्हणाल्या, ‘तुम्ही ते ट्रायल - एरर पद्धतीने म्हणजे वेगवेगळ्या संख्या तपासत सोडवले. तसे करणे चूक नसले, तरी खूपच वेळ घेऊ शकते. अशा ठिकाणी बीजगणित मदत करते. मुलाचे वय अक्षरात मानू. कोणतेही अक्षर घेता येते. नंदूसाठी ‘न’ घेऊ या की हर्षासाठी ‘ह’ की आपले ‘क्ष’ घेऊ या? मुलासाठी ‘म’ घेऊ. मग मुलाचे वय ‘म’ वर्षे, तर आईचे वय ‘५ म’ वर्षे आहे. हे मिळते. आता ७ वर्षांनी त्यांची वये काय असतील?’ बाईंच्या प्रश्‍नाला हर्षाने सावकाश उत्तर दिले, ‘मुलाचे म + ७ वर्षे होईल, तर आईचे वय ५ म + ७ असेल.’ ‘आता याबद्दल दिलेली माहिती समीकरणात मांडू,’ असे म्हणून बाईंनी हे समीकरण लिहिले - 
३ (म + ७) = ५ म + ७ 

‘हे बरोबर आहे. असे सोपे समीकरण सोडवून ३ म + २१ = ५ म + ७, मग २ म = १४ म्हणून म = ७ हे उत्तर मिळते,’ शीतलने समीकरण सोडवून दाखवले. 

‘शाळेत आम्ही सम प्रमाण, व्यस्त प्रमाण यांची गणिते शिकतो. त्यात अशी सोपी समीकरणे मांडतो,’ सतीश म्हणाला. ‘तो भाग सोपाच आहे. नंदू आणि हर्षालादेखील समजेल. दोन संख्या सम प्रमाणात बदलतात त्या कशा हे पाहू. मुलांना बदाम वाटायचे आहेत, प्रत्येकाला दोन बदाम द्यायचे आहेत. तुम्ही चार मुले आहात तर किती बदाम लागतील?’ बाईंनी विचारले. ‘हे अगदी सोपे आहे. आठ बदाम हवेत. पाच मुले असली, तर १० बदाम लागतील,’ नंदू म्हणाला. ‘हा तर २ चा पाढा झाला. आठ मुलांना १६ बदाम वगैरे वगैरे...’ हर्षा म्हणाली. ‘तेही खरेच. पाढादेखील पटीतल्या संख्या देतो. इथे हे लक्षात घ्या, की मुले आणि बदाम यांच्या संख्या एकाच प्रमाणात आहेत. म्हणजेच या सम प्रमाणातल्या संख्या आहेत. आपण गेल्या वेळेला शिऱ्यासाठी रवा आणि साखर यांचे प्रमाण पाहात होतो. तीन वाट्या रवा असेल, तर दोन वाट्या साखर, शिरा बेताचा गोड करते. मग रवा आणि साखर यांचे प्रमाण ३ः२ आहे किंवा रवा साखरेच्या दीडपट आहे असे म्हणतात. शिरा कमी जास्त करायचा तर दोन्ही त्याच प्रमाणात बदलावे लागतात. सहा वाट्या रवा असेल, तर चार वाट्या साखर लागेल, एक वाटी रवा असेल, तर २/३ वाटी साखर हवी. शिऱ्यासाठी रवा आणि साखर समप्रमाणात असतात. आणखी कोणत्या संख्यांच्या जोड्या सम प्रमाणात असतात, सांगा पाहू...’ बाई म्हणाल्या. 

‘पेन्सिली आणि त्यांची किंमत. एक पेन्सिल ६ रुपयांना मिळते, ६ पेन्सिली ३६ रुपयांना मिळतात,’ हर्षा म्हणाली. ‘गाडी किती पेट्रोल वापरते आणि त्यात किती अंतर जाते, ही मापे सम प्रमाणात असतात. आमची गाडी एक लिटर पेट्रोलमध्ये १२ किलोमीटर जाते, ६० किलोमीटर जायला ५ लिटर पेट्रोल घेते,’ सतीशने माहिती दिली. ‘ही सगळी पाढे किंवा गुणाकाराची उदाहरणे आहेत. अर्थात ती सम प्रमाणाची आहेतच. आपले रवा आणि साखरेचे प्रमाण मात्र सरळ पाढे वापरून करता येत नाही. तसेच कधी कधी एका वस्तूची किंमत माहीत नसते, पण वस्तूंच्या सम प्रमाणात किंमत वाढते हे माहीत असते. उदाहरणार्थ आठ पेन्सिलींच्या बॉक्‍सची किंमत ५६ रुपये असेल आणि त्यातल्या ५ हव्या असतील, तर आधी एका पेन्सिलीची किंमत काढावी लागते किंवा पेन्सिली आणि किंमत यांचे गुणोत्तर किंवा प्रमाण ८ः५६ आहे, ते वापरता येते. ५ पेन्सिलींना प रुपये आहेत, तर ८/५६ = ५/प हे समीकरण सोडवावे लागते,’ बाईंनी समजावले. 

‘एकूण सम प्रमाणाची गणिते सोपीच असतात. व्यस्त प्रमाणाची कठीण असतात. शिवाय ते प्रमाण ओळखणे सोपे नाही,’ सतीशचा अनुभव होता. ‘पुढच्या वेळी पाहू आपण तेदेखील. पण सम प्रमाण तरी ओळखता येते ना आता?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून नंदू म्हणाला, ‘ते सोपे आहे! जेव्हा दोन संख्यांपैकी एक वाढली, की दुसरी वाढते, एक कमी झाली, की दुसरीही कमी होते, तेव्हा त्या दोन संख्या सम प्रमाणात असतात ना?’ ‘थोडे बरोबर आहे, पण पूर्ण बरोबर नाही. सम प्रमाणातल्या संख्या बरोबर वाढतात किंवा कमी होतात हे खरे आहे, पण त्या बरोबर वाढणाऱ्या किंवा कमी होणाऱ्या संख्या सम प्रमाणात असतीलच असे नाही. विचार करा यावर,’ बाई म्हणाल्या. ‘सम प्रमाणावरचा एक विनोद सांगते...’ असे म्हणून शीतलने सांगायला सुरुवात केली... ‘एक मुलगी भाजी शिजवत होती. तिला स्वयंपाकाचा अनुभव नव्हता, ती पुस्तकात वाचून भाजी करत होती. पुस्तकातली भाजीची कृती ८ माणसांच्या भाजीची होती, म्हणून तिने त्याच्या अर्ध्या मापाची भाजी तयार केली. कारण तिला ४ जणांसाठी भाजी करायची होती. तिची भाजी खाणाऱ्यांना आवडली नाही. ती विचार करू लागली, तिचे काय चुकले असेल? तिने सर्व पदार्थ पुस्तकातल्या मापाच्या अर्धे घेतले आणि अर्ध्या मापाचे पातेले घेऊन बरोबर दिलेल्या अर्ध्या वेळात भाजी शिजवली. तुम्हाला दिसते का तिची चूक?’

संबंधित बातम्या