पट, प्रमाण की गुणोत्तर? 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 17 जानेवारी 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आम्ही सुटीत सुधामावाशीकडे गेलो, तेव्हा तिच्याकडे शिरा खाल्ला, तो फार आवडला सगळ्यांना. तिला विचारले, साखर जास्त घातलीस का? तर ती ‘नाही’ म्हणाली. पण तिचे तूप, रवा आणि साखर यांचे प्रमाण वेगळे होते,’ नंदूने आल्या आल्या माहिती पुरवली. 

‘बरोबर असणार तिचे.. तूप जरा जास्त घातले, रवा सावकाश आणि भरपूर भाजला, की शिरा छान होतो, साखर जास्त घालून नाही तसा होत. तरी साखर आणि रवा यांचे प्रमाणही योग्य असावे लागतेच,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘सगळ्या गोष्टींत प्रमाण महत्त्वाचे असते ना? उदाहरणार्थ, भाजीत मीठ कमी किंवा जास्त असले, तर भाजी चांगली लागत नाही. त्याचे प्रमाण योग्य असायला हवे,’ शीतलचे निरीक्षण होते. ‘गणितात आपण हे प्रमाण अनेकदा वापरतो, कधी समजून उमजून, तर कधी न कळत...’ बाई समजावू लागल्या. ‘गुणोत्तर, पट, प्रमाण, भागाकार यापैकी शब्द वापरून आपण ते सांगतो. उदाहरणार्थ, जर इडली करण्यासाठी उडीदडाळ आणि तांदूळ किती घ्यावेत असे विचारले, तर कुणी म्हणेल एक वाटी उडीद डाळीसाठी दोन वाट्या तांदूळ, कुणी म्हणेल डाळीच्या दुप्पट मापाचे तांदूळ तर कुणी सांगेल उडीदडाळ आणि तांदूळ यांचे प्रमाण एकास दोन आहे किंवा गुणोत्तर १ः२ आहे. डाळीचे माप आणि तांदुळाचे माप यांचा भागाकार १/२ आहे. या सगळ्या प्रकारांनी तोच बोध होतो.’ ‘मला वाटते डाळीच्या दुप्पट मापाचे तांदूळ हे सर्वांत चांगले आहे. कारण डाळ व तांदूळ हे नक्की किती हे यात दिले नाही, कमी किंवा जास्त असू शकतील. चार माणसांसाठी कमी इडली हवी तर  दहा माणसांसाठी जास्त लागणार,’ हर्षाने तिचे मत सांगितले. 

‘आपण हे प्रमाण गणितात न कळत वापरतो, ते कसे?’ सतीशने विचारले. ‘पहिली किंवा दुसरीत आपण संख्यारेषा किंवा ओळीने संख्या लिहिलेली टेप वापरायला शिकतो. शाळेत एक सरळ रेषा किंवा पट्टी घेऊन संख्यारेषा तयार करायला शिकवतात ना?’ मालतीबाईंनी विचारले. ‘हो, आपल्याला सोयीच्या जागी शून्य ठेवून एखादे सोयीचे, सेंटीमीटर किंवा इंच याचे माप घेऊन १, २, ३ अशा खुणा करायला शिकवले आहे आम्हाला. याप्रमाणे १, २, ३, ४, ५ असे धन पूर्णांक शून्याच्या उजव्या बाजूला दाखवतो. डाव्या बाजूला तसेच ऋण पूर्णांक दाखवतो,’ नंदू उत्साहाने म्हणाला. ‘म्हणजे शून्यापासून एक एकक अंतर दाखवणारा बिंदू एक ही संख्या दाखवतो, दोन एकक अंतर दाखवणारा बिंदू दोन संख्या दाखवतो, चार एकक अंतर दाखवणारा बिंदू चार ही संख्या दाखवतो, असेच ना?’ बाईंनी परत विचारले. आता शीतलच्या ध्यानात आले, ‘म्हणजे एककाच्या दहापट लांबी दाखवणारा बिंदू १० संख्या दाखवतो, एककाच्या दीडपट लांबी दाखवणारा बिंदू दीड ही संख्या दाखवतो.’ ‘थोडक्‍यात, शून्यापासून तो बिंदू जेवढ्या अंतरावर आहे, ते एककाच्या जेवढ्या पटीत आहे, ती संख्या त्या बिंदूने दाखवली जाते. ते अंतर एककाच्या कोणत्या प्रमाणात आहे किंवा ते अंतर व एककाची लांबी यांचे गुणोत्तर तो बिंदू दाखवतो,’ बाईंचे हे म्हणणे आता मुलांना पटले. 

‘पण एकच गोष्ट सांगायला वेगवेगळे शब्द कशाला हवेत?’ सतीशने विचारले. ‘त्यात थोडा बदल असू शकतो. कधी कधी दोन शब्द एकाच अर्थाचे असले, तरी त्यांच्या छटेत फरक असतो किंवा उपयोग वेगळ्या प्रकारे होतो. गुणोत्तर साधारण दोन संख्यांचे असते, तर प्रमाण हे दोन, तीन किंवा जास्त संख्यांचेदेखील असू शकते. इथे आपण शून्य ही संख्या विचारात घेत नाही, का ते सांगा बरे!’ इथे बाई थांबल्या. हर्षाने ओळखले, ‘कारण प्रमाण भागाकाराने ठरवता येते, पण शून्याने भागाकार करता येत नाही.’ ‘शाबास, शून्याची ही खासियत नेहमी लक्षात ठेवा. शून्याने कोणत्याही संख्येला भागता येत नाही. आपले शिऱ्याचे उदाहरण घ्या. तूप, रवा, साखर असे तीन पदार्थ विशिष्ट प्रमाणात हवे असले, उदाहरणार्थ ते पदार्थ १ः३ः२ अशा प्रमाणात हवे असले, तर असे एका ओळीत सांगता येते. आता अशा शिऱ्यासाठी एक वाटी रवा असेल तर तूप आणि साखर किती लागेल सांगा बरे!’ बाईंचा प्रश्‍न आला. सतीशने तो सावकाश सोडवला.. ‘तूप आणि रवा यांचे प्रमाण १ः३ आहे. म्हणजे रवा तुपाच्या तिप्पट किंवा तूप रव्याच्या एक तृतीयांश आहे, म्हणून तूप १/३ वाटी, रवा आणि साखर यांचे गुणोत्तर ३ः२ आहे. म्हणजे साखर रव्याच्या दोन तृतीयांश म्हणजे २/३ वाटी लागेल.’ ‘बरोबर! दोनहून जास्त गोष्टींचे प्रमाण असे दिले असेल, तर बीजगणित वापरून ते सोप्या पद्धतीने सोडवता येते. इथे ते प्रमाण पाहून तूप, रवा व साखर हे क, ३क, २क अशा मापात आहेत असे म्हणता येते. मग रवा ३क = १ वाटी असेल, तर क ची किंमत १/३ येते. त्यावरून इतर गोष्टी किती असायला हव्यात ते समजते. १ वाटी साखर असेल, तर दिलेल्या प्रमाणात तूप व रवा किती घ्यावा ते २क = १ वरून ठरवता येते,’ बाईंचे म्हणणे ऐकून शीतलला आणखी सुचले, ती म्हणाली, ‘अशा पद्धतीने चार वस्तूंचे प्रमाण २ः५ः७ः३ असे काहीसे दिले असले, तर त्यातली एक वस्तू किती मापाची आहे ते सांगितले, तर या प्रमाणात इतर वस्तू किती असाव्यात ते समजेल ना? कारण त्या वस्तू २क्ष, ५क्ष, ७क्ष, ३क्ष आहेत असे मानता येईल.’ 

‘छान! अगदी बरोबर सांगितलेस. आता सोपे प्रमाण किंवा पट वापरून एक कोडे देते. ते सोडवा पाहू..’ बाई म्हणाल्या. कोडे म्हणताच सगळेजण सरसावून बसले. बाई पुढे सांगत गेल्या.. ‘एका मुलाच्या आईचे वय त्याच्या वयाच्या पाचपट आहे. ७ वर्षांनंतर त्याच्या आईचे वय त्या मुलाच्या वयाच्या तिप्पट असेल. तर त्यांची आजची वये ओळखा. वरच्या वर्गातल्या मुलांना चटकन येईल सोडवता, पण नंदू आणि हर्षानेदेखील प्रयत्न करायला हवा.’

संबंधित बातम्या