बिरबलाचे कोडे 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 13 डिसेंबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आजी बिरबलाने गायींची वाटणी कशी केली ते आज सांगणार आहेस ना?’ नंदूने आल्याबरोबर विचारले. ‘हो! आपण तो प्रश्‍न पुन्हा एकदा पाहू या. एकूण सतरा गायींची वाटणी करायची होती. प्रथम त्या माणसाच्या बायकोला अर्ध्या गायी द्यायच्या. नंतर तिला दिलेल्या गायींच्या दोन तृतीयांश गायी मुलाला द्यायच्या, मग दोन गायी त्यांच्या इमानी नोकराला द्यायच्या आहेत,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘पण सतरा गायींचा अर्धा भाग म्हणजे एक गाय कापायची का?’ हर्षाने विचारले. ‘तसे करायचे नव्हते, म्हणून वाटणी करण्यासाठी चतुर बिरबलाची मदत घेतली, होय ना?’ सतीशने विचारले. ‘बरोबर! आता त्याने काय युक्ती केली पाहू,’ बाई सांगू लागल्या... ‘त्याने थोडा विचार केला. मग तो म्हणाला - मी माझी आणखी एक गाय तुम्हाला या वाटणीसाठी दिली तर चालेल ना? तेव्हा ते सगळे अर्थात राजी झाले, कारण त्यांना थोडा जास्त वाटा मिळाला, तर हरकत नव्हतीच. मग एकूण अठरा गायी वाटायच्या असे ठरले.’ ‘सोपाच प्रश्‍न आहे. अठराच्या अर्ध्या म्हणजे नऊ गायी त्या माणसाच्या बायकोला मिळणार!’ नंदू उत्तरला. हर्षाने पुढची वाटणी केली, ‘नऊच्या दोन तृतीयांश म्हणजे सहा गायी मुलाला आणि दोन गायी नोकराला द्यायच्या. मग ९ + ६ + २ अशा सतरा गायी वाटल्या. एक गाय उरली, ती बिरबलाने परत नेली, असेच ना?’ आता शीतलने विचारले. ‘होय, त्याची गाय त्याला मिळाली आणि ज्यांना गायी द्यायच्या होत्या, ते समाधानी होते. बायको आणि मुलगा तर अपेक्षेपेक्षा किंचित जास्त वाटा मिळाला म्हणून खूष होते,’ बाई म्हणाल्या. 

‘बिरबलाला कसा सुचला हा मार्ग?’ सतीशने विचारले. ‘त्याला थोडे गणित येत होते. त्याने अपूर्णांक पाहिले. अर्धा नि त्याचा दोन तृतीयांश म्हणजे १/२ आणि १/३ यांची बेरीज होते ५/६. आपला गोल्डन रूल वापरून तपासून पाहा,’ बाईंनी सूचना केल्यावर हर्षा म्हणाली, ‘दोन्ही अपूर्णांकांचे छेद समान, म्हणजे ६ करायचे, मग ३/६ आणि २/६ यांची बेरीज सोपी आहे.’ ‘शाबास, मग १/६ एवढ्या गायी उरतात. त्यांच्यामधून दोन नोकराला द्यायच्या आहेत. सतराऐवजी अठरा गायी असल्या, तर भागाकार व्यवस्थित होतो, शिवाय बायको व मुलाला त्यांचे वाटे दिले, की तीन गायी उरतात, हे बिरबलाच्या ध्यानात आले आणि प्रश्‍न सुटला. शिवाय जास्त गायी वाटणीसाठी घेतल्या, तर कुणाची हरकत नसेल हे सामान्य ज्ञान किंवा कॉमन सेन्स त्याने वापरले,’ बाई म्हणाल्या. 

‘आता सोपे दिसते आहे. पण आधी सतरामधून अर्ध्या गायी कशा द्यायच्या यातच आम्ही चक्रावून गेलो,’ सतीश म्हणाला. 

‘आणखी एक अपूर्णांकांचे कोडे बिरबलाने कसे सोडवले ते पाहा. दोन मित्र एका गावाहून दुसऱ्या गावी चालत जात होते, दुपारी वाटेत एका झाडाखाली आपापले जेवण घ्यायला बसले. त्यांना तिसरा एक वाटसरू भेटला, त्याच्याजवळ काहीच अन्न नव्हते. पहिल्या दोघांनी ठरवले, की त्यांचे जेवण तिघांनी मिळून सारखे वाटून घ्यायचे. पहिल्या माणसाकडे तीन भाकऱ्या होत्या आणि दुसऱ्याकडे पाच होत्या. तिघांनी सारख्या वाटून घेतल्या. मग तिसऱ्या वाटसरूने जेवण दिल्याबद्दल पहिल्या दोघांचे आभार मानले आणि त्यांना जेवणासाठी ८० रुपये देऊन तो निघून गेला. पहिला वाटसरू ते ८० रुपये सारखे वाटून घेऊ असे म्हणत होता. पण दुसरा म्हणाला, माझ्या ५ भाकऱ्या होत्या, तुझ्या तीनच होत्या. म्हणून तू तीस रुपये घे, मी पन्नास घेणार. पहिला म्हणाला - आपण जेवण सारखे वाटून घेतले, आता पैसेही सारखे वाटू या. हा वाद बिरबलाकडे गेला, तो त्याने कसा सोडवला असेल?’ बाईंनी विचारले. 

बाईंचे कोडे ऐकून मुले विचार करू लागली. शीतल म्हणाली, ‘दुसऱ्या माणसाचे बोलणे ठीक आहे. सगळ्यांच्या जेवणासाठी त्याने पाच भाकऱ्या दिल्या, पहिल्याने तीन दिल्या. म्हणून ८० रुपये त्या दोघांच्या मध्ये त्याच प्रमाणात वाटणे योग्य आहे,’ बाई हसून सांगू लागल्या, ‘पण बिरबलाने वेगळाच न्याय दिला. तो म्हणाला - पहिल्याने १० रुपये घ्यावेत आणि पाच भाकऱ्या आणणाऱ्याला सत्तर रुपये मिळावेत. ते का ते पाहा. पहिल्याच्या भाकऱ्या तीन होत्या आणि दुसऱ्याच्या पाच होत्या. तिसऱ्या माणसाने कुणाची किती भाकरी खाल्ली, त्याप्रमाणे रुपयांची वाटणी व्हायला हवी. प्रत्येक भाकरीचे तीन तुकडे केले, तर वाटणी सोपी होते. एकूण तुकडे झाले चोवीस. प्रत्येकाने आठ खाल्ले. तिसऱ्या माणसाला ते पहिल्या दोघांच्याकडून मिळाले. पहिल्या माणसाच्या तीन भाकऱ्यांचे नऊ तुकडे झाले, त्यातला एकच तिसऱ्या माणसाला मिळाला. कारण आठ पहिल्यानेच खाल्ले. दुसऱ्या माणसाचे तुकडे होते पंधरा, त्यातले आठ त्याने खाल्ले आणि तिसऱ्या माणसाला त्याच्याकडून सात तुकडे मिळाले. म्हणजे त्याला पहिल्याकडून एक, तर दुसऱ्याकडून सात तुकडे मिळाले, म्हणून ८० रुपयांची त्या प्रमाणात वाटणी व्हायला हवी.’ ‘समजावल्यावर पटतो आहे बिरबलाचा न्याय. पहिल्या माणसाला मात्र वाटले असणार की दुसऱ्याचा हिशोब मानायला हवा होता,’ सतीश म्हणाला.

संबंधित बातम्या