अनंत संचांची तुलना 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 30 नोव्हेंबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आपण संख्यांचा लहान-मोठेपणा मोजतो, तसा संचांचा लहान-मोठेपणा मोजता येतो का?’ हर्षाने वेगळाच प्रश्‍न उपस्थित केला. ‘येईल बहुधा. उदाहरणार्थ इथल्या मुलींचा संच मुलग्यांच्या संचापेक्षा मोठा आहे. कारण मुली आहेत तीन, तर मुलगे दोनच आहेत,’ शीतल म्हणाली. ‘बरोबर आहे. आपण प्रत्येक संचातील वस्तूंची संख्या मोजून ज्या संचात जास्त वस्तू आहेत तो संच मोठा आहे असे ठरवतो,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘हे तर सोपेच आहे. आपण हे नेहमीच करतो. आमच्या शाळेत तिसरीच्या वर्गात ४५ मुले आहेत, चौथीच्या वर्गात ४२ मुले आहेत; तर तिसरीचा वर्ग जास्त मोठा आहे,’ नंदूचे निरीक्षण आले. ‘आणखी एक समजते आपल्याला; एखाद्या संचात उपसंच असेल, तर तो लहान असतो, म्हणजे तिसरीच्या वर्गातल्या फक्त मुलींचा संच हा तिसरीतल्या एकूण मुलांचा उपसंच आहे, तर तो एकूण मुलांच्या संचापेक्षा लहान आहे,’ सतीशने आपले निरीक्षण सांगितले. ‘शाबास. अगदी बरोबर निरीक्षणे आहेत तुमची,’ बाईंनी शाबासकी दिली. ‘पूर्णांक संख्या, म्हणजे १, २, ३, ४ अशा धन संख्या, शून्य, आणि -१, -२, -३ अशा ऋण संख्या यांचा संच हा परिमेय संख्यांचा उपसंच आहे, म्हणून तो परिमेय संख्यांच्या संचापेक्षा लहान आहे, होय ना?’ शीतलने विचारले. 

‘परिमेय संख्या म्हणजे काय?’ नंदूचा प्रश्‍न आला. ‘परिमेय संख्या म्हणजे २/३, १/८, ४५/७६ किंवा -२/३, -४/७ असे व्यवहारी अपूर्णांक किंवा इंग्रजीत रॅशनल नंबर. यात पूर्णांक संख्यादेखील येतात कारण त्या ३/१, ५/१ किंवा -३/१ अशाही लिहिता येतात,’ बाईंनी खुलासा केला. त्या पुढे म्हणाल्या, ‘पण हे दोनही संच सांत नसून अनंत आहेत. सांत म्हणजे मर्यादित, संख्येत मोजता येणारी संख्या, तर अनंत म्हणजे मर्यादित नसलेली मोजता न येणारी संख्या.’ ‘पूर्णांक आणि परिमेय संख्या अनंत आहेत हे सहज समजू शकते. पूर्णांक संख्यांचा संच परिमेय संख्या संचाचा उपसंच आहे, हे पण समजले. म्हणजे शीतलचे म्हणणे बरोबर आहे. पूर्णांक संख्यांचा संच लहान आहे,’ सतीश म्हणाला. ‘ते मात्र खरे नाही. कारण अनंत संख्यांची तुलना वेगळ्या प्रकारांनी केली जाते,’ बाई म्हणाल्या. ‘ते कसे काय? परिमेय संख्यासंचात पूर्णांक संख्या आहेतच, शिवाय अनंत अपूर्णांकदेखील आहेत. मग तो संच जास्त मोठा नाही का?’ शीतलची शंका इतर मुलांना बरोबर वाटली. 

मालतीबाई समजावू लागल्या, ‘गणिती लोकांनी अनंत संख्यांचा लहान-मोठेपणा ठरवण्याचे वेगळे नियम केले आहेत. आपण संख्या मोजल्या नाहीत तरी सांत संख्यांचा लहान-मोठेपणा वेगळ्या प्रकाराने दाखवू शकतो. एकास एक संगतीने किंवा जोड्या लावून आपण दोनही संच तपासू शकतो. उदाहरणार्थ खोलीतील मुले आणि पार्टीसाठी आणलेल्या कागदी टोप्या, या दोन्ही संचांची तुलनेसाठी तपासणी कशी करता येईल?’ ‘अर्थात एकेका मुलाच्या डोक्‍यावर टोपी ठेवून! टोपी उरली, तर टोप्या जास्त आहेत, कोणा मुलाला टोपी मिळाली नाही, तर मुले जास्त आहेत!’ नंदूचे उत्तर सगळ्यांना मान्य होते. 

‘अशीच एकास एक संगती लावून अनंत संचांची तुलना करतात. सगळ्या पूर्णांक संख्या आणि सम पूर्णांक संख्या यांचे संच पाहा. सम संख्यांचा संच सगळ्या पूर्णांक संख्यांच्या संचाचा उपसंच आहे. पण त्या दोन संचात एकास एक संगती दाखवता येते. n ही संख्या असेल, तर n - २n अशी ती संगती आहे; हे पटते ना?’ बाईंचे म्हणणे ऐकून मुले विचार करू लागली. ‘म्हणजे इथे उपसंच आणि मोठा संच, दोन्ही सारखेच मोठे आहेत?’ सतीशने विचारले. ‘होय! विचित्र वाटले, तरी गणिती लोकांनी ते मान्य केले आहे. अनंत संचांची तुलना, त्यांची अशा प्रकारची मोजणी, विविध प्रकारचे अनंत संच, यावर कॅंटर नावाच्या गणितज्ञाने खूप काम केले आणि ते इतरांनी मान्य केले. अनंत संचांची मोजणी वेगळ्या प्रकाराने केली जाते. ज्याप्रमाणे पूर्णांक संख्या आणि सम पूर्णांक संख्या यांच्या एकास एक संगती दाखवता येते, त्याचप्रमाणे पूर्णांक आणि परिमेय संख्यांच्या मध्येदेखील एकास एक संगती दाखवता येते,’ बाईंचे बोलणे ऐकून ‘ती कशी काय?’ शीतलने विचारले. ‘आपण १, २, ३, ४, ५... असे सगळे धन पूर्णांक आणि २/३, ४/७ तसेच ७/२, ९/३ अशा सगळ्या धन परिमेय संख्या, यांच्यात एकास एक संगती दाखवू,’ असे म्हणून बाईंनी एक आकृती काढली. (शेजारील आकृती पहा) 

‘यात बाणाने दाखवले आहे, त्याप्रमाणे एकास एक संगती दाखवायची. १  १/१, २  २/१, ३  १/२, ४  ३/१, ५  २/२, ६  १/३, ७  ४/१, ८  ३/२ या प्रमाणे प्रत्येक धन पूर्णांकाची जोडी एका परिमेय संख्येशी लावता येते,’ बाई म्हणाल्या. ‘यात हळू हळू परिमेय संख्येच्या अंश आणि छेद यांची बेरीज वाढवत नेलेली दिसते,’ सतीशचे निरीक्षण आले. ‘बरोबर, त्यातही अशा एकाच बेरजेच्या परिमेय संख्यांच्या मध्ये जास्त अंश असलेली संख्या प्रथम ध्यानात घ्यायची. असा धन पूर्णांक संख्यांच्या सारखा क्रम लावला, की ही एकास एक संगती झाली,’ बाईंनी सांगितले. ‘कोणत्याही अनंत संचाची अशी धन पूर्णांक संख्यांच्या संचाशी एकास एक संगती लावता येते का?’ शीतलने विचारले. ‘नाही. असे काही अनंत संच आहेत, ते खरेच पूर्णांक संख्यांच्या संचापेक्षा मोठे आहेत, त्यांच्याशी अशी एकास एक संगती लावता येत नाही आणि हे सिद्ध करता येते. म्हणून हे संच खरेच पूर्णांक संख्यासंचापेक्षा मोठे आहेत. अनंत संचांमध्ये पूर्णांक संख्यासंच सगळ्यात लहान आहे,’ बाईंची माहिती ऐकून नंदू म्हणाला, ‘हे सगळे चक्रावून टाकणारे आहे. मला नीट समजत नाही. आपण आपले मोजता येणाऱ्या संख्यांचेच गणित करू या...’

संबंधित बातम्या