आणखी काही कोडी 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 29 नोव्हेंबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आ ज आणखी एक कोडं पाहू या का? त्यातही मोठी आकडेमोड नसेल, पण तर्कशुद्ध विचार आणि अगदी लहान मोजणी असेल..’ बाईंचे बोलणे मुलांना पसंत पडले. ‘सोप्या घटनांची संभाव्यता तुम्हाला मोजता येते ना? उदाहरणार्थ खेळताना फासा फेकला, तर वरच्या बाजूला ६ येण्याची संभाव्यता काय?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून हर्षा म्हणाली, ‘ते माहीत आहे आम्हाला. एकूण सहा पृष्ठभाग असतात फाशाला, एक ते सहा असे अंक त्यांवर असतात. सहापैकी एकावर सहा हा अंक असतो, प्रत्येक भाग वर येण्याची शक्‍यता समान असते, म्हणून सहा किंवा कोणताही अंक वर येण्याची संभाव्यता १/६ आहे.’ ‘शाबास! आता फासा फेकल्यावर वरच्या बाजूला सम संख्या येण्याची संभाव्यता नंदू तुला सांगता येईल का?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून नंदूने सावकाश उत्तर दिले, ‘एक ते सहापैकी सम संख्या आहेत २, ४, ६ म्हणजे एकूण तीन, मग फासा फेकल्यावर वरच्या बाजूला सम संख्या येण्याचे प्रकार तीन म्हणून ती संभाव्यता ३/६ म्हणजेच १/२ आहे, होय ना?’ ‘अगदी बरोबर! म्हणजे तुम्हाला साध्या घटनेची संभाव्यता मोजता येते तर! आता कोडे पाहू या. चार मुलगे आहेत, हरी, बाळू, पार्थ आणि नंदू! त्यांच्या टोप्या वेगवेगळ्या रंगांच्या आहेत. हरीची हिरवी, बाळूची ब्राऊन, पार्थची पिवळी, तर नंदूची निळी!’ 

‘हे चौघे मित्र संध्याकाळी एका पार्टीला गेले. आत जाताना पार्टीच्या खोलीत जाण्यापूर्वी चौघांनी आपापल्या टोप्या काढून एका पिशवीत ठेवल्या आणि एका खुंटीवर ती पिशवी अडकवली. पार्टीहून परत येताना अंधार झाला होता, त्यांनी पिशवीतून एकेक टोपी काढून डोक्‍यावर घातली. बाहेर गेल्यावर उजेडात त्यांच्या लक्षात आले, की प्रत्येकाने स्वतःची टोपी न घालता कोणा दुसऱ्याचीच टोपी घातली होती. आता असे होण्याची संभाव्यता काढता येईल का?’ 

‘कठीण आहे हे!’ नंदू म्हणाला. ‘सावकाश करा. आधी टोप्या घालण्याचे एकूण प्रकार काढा. मग सगळ्यांच्या टोप्या स्वतःच्या नसण्याचे प्रकार शोधा आणि मोजा. नंतर भागाकार करून संभाव्यता मिळेल, होय ना?’ बाई म्हणाल्या. 

‘टोप्या घालण्याचे एकूण प्रकार मोजता येतात आम्हाला. पहिला मुलगा चारमधून कोणतीही एक टोपी घेणार म्हणून त्याचे चार प्रकार, मग दुसरा मुलगा उरलेल्या तीन मधून तीन प्रकारे, नंतर तिसरा उरलेल्या दोन मधून एक टोपी घेणार, शेवटी राहिलेल्याला उरलेली एक टोपी घ्यावी लागते. ४x३x२x१ म्हणजे एकूण २४ प्रकार आहेत टोप्या घालण्याचे!’ शीतल म्हणाली. ‘बरोबर.. तीन मुले आणि तीन वेगवेगळ्या टोप्या असल्या, तर ३x२x१ असे ६ प्रकार झाले असते. हे तुम्ही असे लिहून पाहू शकता.,’ असे म्हणून बाईंनी आकृती काढली. (कृपया वरील आकृती २ पहा)

‘पण प्रत्येकाच्या डोक्‍यावर दुसऱ्याची टोपी असण्याचे प्रकार कसे मोजायचे?’ हर्षाने विचारले. ‘आपण नंदूपासून मोजू. तो निळी टोपी घालणार नाही, म्हणजे त्याच्या टोपीचे हिरवी, पिवळी आणि ब्राऊन असे तीन प्रकार असू शकतात. समजा त्याने हिरवी टोपी घातली, तर ज्याची हिरवी टोपी आहे त्या हरीला टोपीचे किती प्रकार मिळतात पाहा..’ बाई म्हणाल्या. ‘त्यालादेखील तीन प्रकार आहेत. कारण उरलेल्या तीनही टोप्या त्याच्या नाहीत,’ सतीश म्हणाला. ‘तो नंदूची निळी टोपी घालून त्याच्याशी अदलाबदल करू शकतो किंवा अगदी वेगळी, म्हणजे पिवळी, किंवा ब्राऊन टोपी घालू शकतो. आपण त्या तीनही प्रकारात उरलेल्या मुलांना कोणत्या टोप्या मिळू शकतात ते पाहू,’ बाई समजावू लागल्या. (कृपया वरील आकृती ३ पहा)

‘समजा हरीने निळी टोपी घातली, तर पार्थ आणि बाळूसाठी पिवळी आणि ब्राऊन उरल्या. मग त्यांना त्या टोप्यांची अदलाबदल करणे हाच एक प्रकार उरतो. हरीने वेगळी, म्हणजे पिवळी टोपी घातली, तर निळी टोपी आणि ब्राऊन टोपी, या बाळू आणि पार्थ यांच्यासाठी उरल्या. बाळू ब्राऊन घेणार नाही, म्हणजे तो निळी आणि पार्थ ब्राऊन घेणार हा एकच प्रकार उरतो. हरीने ब्राऊन टोपी घेतली, तर निळी आणि पिवळी या टोप्या उरतील पार्थ आणि बाळूसाठी. पुन्हा पार्थसाठी निळी आणि बाळूसाठी पिवळी हीच वाटणी होणार. एकूण नंदू आणि हरी यांच्या टोप्या ठरल्या, तर बाळू आणि पार्थ यांना एकेकच प्रकार उरतो टोपी घालण्याचा,’ बाईंनी सावकाश समजावले. मुले विचार करत होती. शीतलने उत्तर काढले, ‘म्हणजे कोणत्याही दोघांनी टोप्या घेण्याचे ९ प्रकार झाले, की उरलेल्या दोघांच्या टोप्या ठरलेल्या असणार. असे एकूण नऊ प्रकार आहेत ज्यात कोणीही आपली स्वतःची टोपी घालत नाही. म्हणून या घटनेची संभाव्यता ९/२४ अशी आहे. कारण चौघांनी चार वेगळ्या टोप्या घालण्याचे एकूण प्रकार २४ आहेत.’ 

‘आकडेमोड फार करायला लागली नाही, तरी वेगळी मोजणी करायला लावलीस हं आजी!’ नंदू म्हणाला. ‘गणितात फक्त आकडेमोड नसते, तर वेगवेगळ्या प्रकारे विचार करायची सवय होते, हे महत्त्वाचे आहे,’ बाईंनी समारोप केला.
 

संबंधित बातम्या