एक मजेदार कोडे 

मंगला नारळीकर
गुरुवार, 22 नोव्हेंबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

‘आजी तू म्हणतेस ना, की गणितात आकडेमोडीपेक्षा गणिती विचार जास्त महत्त्वाचा असतो? मग त्यावर आधारलेली काहीतरी गंमत सांग ना!’ नंदूने आल्या आल्या सूचना केली. ‘ठीक आहे, आपण एक कोडे पाहू या. त्यात काही आकडेमोड नसेल. समजा एका खेळात खेळाडू समोर टेबलावर तीन सारख्या दिसणाऱ्या बंद पेट्या आहेत. एका पेटीत सोन्याची अंगठी आहे, तर दुसऱ्या दोन्ही पेट्यांत एकेक काजू आहे. हे खेळाडूला सांगितलं आहे. आता पेट्यांची अदलाबदल केलेली असून त्याने कोणतीही एक पेटी उचलून घ्यावी. मात्र लगेच उघडायची नाही. टेबलाच्या मागे असणाऱ्या माणसाला अर्थात माहीत आहे कोणत्या पेटीत काय आहे ते. आता टेबलावर दोन पेट्या आहेत ना?’ मालतीबाईंनी विचारले. ‘होय, एकच पेटी खेळणाऱ्या माणसाने उचलली. आता त्याच्या पेटीत काय आहे हे माहीत नाही,’ नंदू म्हणाला. हर्षाने पुढचा अंदाज बांधला, ‘त्याने अंगठीची पेटी घेतली असली, तर टेबलावरच्या दोन्ही पेट्यांत काजू आहेत, पण त्याने काजूची पेटी उचलली असली, तर टेबलावर एक काजूची आणि एक अंगठीची पेटी आहे.’ 

बाई पुढे म्हणाल्या, ‘आता या वेळी टेबलामागचा माणूस पुढे आला, त्याने एक पेटी उघडली व तिच्या मधला काजू खाऊन टाकला. मग एकच बंद पेटी टेबलावर आहे. या स्थितीमध्ये खेळाडूला त्याच्या हातातली पेटी बदलून टेबलावरची बंद पेटी घेण्याची संधी आहे, ती त्याने घ्यावी का? तुम्ही त्याच्या जागी असाल तर काय कराल?’ 

‘कठीण प्रश्‍न आहे. आपल्या पेटीतली वस्तू तर बदलत नाही. पण आपण ती काय आहे हे माहीत नसताना बदलून दुसरी पेटी घ्यावी का? समजा, आपण आधीच हवी असलेली अंगठीची पेटी उचलली असेल तर? मी नाही ती बदलणार!’ सतीश म्हणाला. 

‘माझी पेटी बदलून घ्यायला आवडेल. का ते सांगता येत नाही, कारण कोणत्या पेटीत अंगठी आहे, याची अजून  खात्री नाही. बदलायची संधी आहे, तोवर बदलू या.’ नंदू म्हणाला. शीतलचे मत होते, ‘काही कारण असेल, आपल्याला अंगठी मिळण्याची जास्त शक्‍यता असेल, तर बदलू या पेटी.’ 

बाई समजावू लागल्या, ‘अंगठी मिळण्याची शक्‍यता वाढते, म्हणून पेटी बदलावी. अर्थात त्यामुळे अंगठी नक्की मिळेल असे नाही.’  सतीश म्हणाला, ‘तशी आपण उचललेल्या पेटीत अंगठी असेल तर पेटी बदलणे धोक्‍याचे आहे. पण पेटी बदलली, तर अंगठी मिळण्याची शक्‍यता जास्त आहे.’ 

‘ती कशी? आपण वस्तूंची अदलाबदल करू शकत नाही. आपण आधी उचललेल्या पेटीत काय आहे हे माहीत नाही. टेबलावर असलेल्या बंद पेटीत किंवा आपल्या हातातल्या पेटीत, कोठेही अंगठी असू शकते,’ हर्षा बोलली. 

‘प्रत्येकाच्या विचारात तथ्य आहे, यशाची खात्री नाही, कारण  कोणत्या पेटीत काय आहे हे माहीत नाही. पण आपण कोणत्या पेटीत अंगठी असण्याची जास्त शक्‍यता आहे ते पाहू शकतो. प्रथम उचललेल्या पेटीत अंगठी असण्याची शक्‍यता किंवा संभाव्यता काय?’ बाईंचा प्रश्‍न येताच सतीश म्हणाला, ‘ती शक्‍यता १/३ आहे. कारण दिलेल्या तीनपैकी कोणत्याही पेटीत अंगठी असू शकते.’ 

‘आता टेबलामागच्या माणसाने टेबलावरची एक पेटी उघडून त्यातला काजू खाल्ला म्हणजे त्या पेटीत अंगठी नव्हती. उरलेल्या बंद पेटीत किंवा आपल्या हातातल्या पेटीत अंगठी आहे. म्हणजे आता टेबलावरच्या बंद पेटीत अंगठी असण्याची शक्‍यता १/२ आहे, हे पटते का?’ बाईंचे बोलणे ऐकून मुले विचार करू लागली. 

‘पण मग दोनही बंद पेट्यांमध्ये अंगठी असण्याची शक्‍यता सारखीच, अर्धी अर्धी आहे ना?’ सतीशचा प्रश्‍न आला. 
‘आता तसे आहे. पण आपण पहिली पेटी उचलली, तेव्हा तिच्यात अंगठी असण्याची शक्‍यता किंवा संभाव्यता १/३ एवढीच होती. आता पेटी बदलून टेबलावरची पेटी घेतली, तर आपल्या पेटीत अंगठी असण्याची शक्‍यता वाढते, ती १/२ होते.’ 

बाईंचे बोलणे हळू हळू पटत होते. तरी सतीशचे समाधान झाले नाही. तो म्हणाला, ‘पण आता दोनही बंद पेट्यांमध्ये अंगठी असण्याची शक्‍यता सारखी नाही का?’ 

‘आता तसे आहे, पण आपण आधी एक पेटी उचलली तेव्हा आपल्या पेटीत यशाची संभाव्यता १/३ एवढीच होती. या प्रश्‍नाचे समाधानकारक उत्तर मिळण्यासाठी संख्याशास्त्र आणि संभाव्यता यांचा अभ्यास करायला हवा. समजा दोनशे वेळा हाच प्रयोग केला, त्यातल्या शंभर वेळा आपण पेटी बदलली नाही, तर त्यातल्या अंदाजे ३३-३४ वेळा आपल्या पेटीत अंगठी असेल हे पटले का?’ बाईंचा प्रश्‍न ऐकून मुले ‘हो’ म्हणाली. त्या पुढे बोलू लागल्या... ‘शंभर वेळा आपण पेटी बदलून घेतली, तर त्यातल्या अंदाजे पन्नास वेळा आपल्या पेटीत अंगठी मिळेल हेदेखील पटते का? यात आपल्या प्रश्‍नाचे उत्तर आहे.’ मुले ‘हो’ म्हणाली, पण अजून विचार करत होती. 
शीतल म्हणाली, ‘पेटी बदलण्यामुळे यशाची खात्री होत नाही, पण संभाव्यता वाढते.’ ‘शाबास अगदी बरोबर सांगितलंस. संख्याशास्त्राचा उपयोग अनेकदा यशाची खात्री देत नाही, पण संभाव्यता कशी वाढवावी याचा अभ्यास शिकवतो. त्यातही अनेक कारणे, त्यांचे परिणाम हे विचारात घ्यावे लागतात,’ बाई म्हणाल्या. 
‘पण मला अंगठी नको असेल आणि काजू खायला हवा असेल तर?’ नंदूने विचारले. बाई हसून म्हणाल्या, ‘तसे असेल तर तू पेटी मुळीच बदलू नको. कारण उचललेल्या पेटीत काजू असण्याची संभाव्यता २/३ आहे, तर टेबलावर उरलेल्या पेटीत ती संभाव्यता अर्धीच आहे.’ बाई म्हणाल्या.

संबंधित बातम्या