संख्यारेषेवर आणखी बिंदू 

मंगला नारळीकर
बुधवार, 10 ऑक्टोबर 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

 

‘गेल्या वेळेला आपण संख्यारेषेवर पूर्णांक आणि व्यवहारी अपूर्णांक कसे दाखवायचे ते पाहिले. आता आणखी काही संख्या दाखवायच्या ना?’ हर्षाने विचारले. ‘हो तर! आपण संख्या कशा दाखवतो हे ध्यानात घ्या. एक एकक निश्‍चित केला, की शून्यापासून तेवढे अंतर दाखवणारा बिंदू एक ही संख्या दाखवतो. मग दुप्पट अंतर दाखवणारा बिंदू किंवा एकाच्या पुढे आणखी एक एकक अंतर दाखवणारा बिंदू दोन ही संख्या दाखवतो. एक या संख्येचे सात समान भाग करून प्रत्येक भाग १/७ लांबीचा आहे हे ध्यानात घेतो. त्यावरून १/७, २/७ इत्यादी संख्या दाखवणारे बिंदू मिळतात,’ मालतीबाई म्हणाल्या. ‘म्हणजे संख्यारेषेवरचे बिंदू शून्यापासून जेवढे अंतर ती संख्या दाखवतात होय ना?’ सतीशने विचारले. ‘बरोबर! आता आणखी काही संख्या बिंदूंनी संख्यारेषेवर दाखवू. तुम्हाला २  ही लांबी दाखवता येते का?’ बाईंनी विचारले. शीतल म्हणाली, ‘हो! पायथागोरसचे प्रमेय वापरून ती अशी दाखवता येते...’ असे म्हणून तिने आकृती काढून दाखवली. (आकृती १ पहा.) 

‘आम्हाला नाही माहित पायथागोरस!’ नंदू म्हणाला. ‘अगदी सोपे प्रमेय आहे त्याचे. त्याच्या पूर्वीच्या भारतातल्या गणिती लोकांनादेखील ते माहित होते. काटकोन त्रिकोण काढला, तर काटकोनासमोरच्या बाजूला कर्ण म्हणतात. कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेएवढा असतो, हेच ते प्रमेय. शीतलच्या आकृतीत त्रिकोण ABC मध्ये कोन B हा काटकोन किंवा ९० अंशाचा कोन आहे. म्हणजे AC हा कर्ण आहे, तर (आकृती २ पहा) या आकृतीमध्ये बाजू AC ही २ एकक एवढ्या लांबीची आहे. हे पटले ना? ती कंपासच्या मदतीने शून्याच्या उजवीकडे दाखवता येते,’ बाईंनी समजावले. ‘हीच युक्ती वापरून आपण ३, ५ अशा कोणत्याही धन पूर्णांकाचे वर्गमूळ दाखवू शकतो. काटकोन त्रिकोणाच्या काटकोन करणाऱ्या बाजू १ आणि वर्गमुळात २ अशा असल्या तर कर्ण ३ च्या वर्गमुळाएवढा असेल. काटकोन करणाऱ्या बाजू १ आणि २ लांबीच्या असल्या, तर कर्ण ५ च्या वर्गमुळाएवढा असेल,’ शीतल म्हणाली. 

‘आता कोणतीही धन संख्या x  ही संख्यारेषेवर दाखवता आली, तर तिचे वर्गमूळ कसे दाखवायचे ते समकोन त्रिकोणांचा गुणधर्म वापरून पाहू या,’ असे म्हणून बाईंनी आकृती काढली. (आकृती ३ पहा) ‘या आकृतीमध्ये AM ची लांबी १ एकक, तर MB ची लांबी x एकक आहे. मग AB हा व्यास घेऊन त्यावर अर्धवर्तुळ काढले, M व्यासाला लंब रेषा काढली, ती अर्धवर्तुळाला P मध्ये छेदते. MP ही x च्या वर्गमुळाएवढी लांबी आहे. इथे AMP आणि PMB हे दोन समकोन असे काटकोन त्रिकोण आहेत. त्यांच्या संगत बाजूंची गुणोत्तरे समान आहेत. याचा उपयोग केला आहे.’ ‘मग सगळ्या संख्या अशा संख्यारेषेवर दाखवता येतात का?’ हर्षाने विचारले. ‘असंख्य संख्या याप्रमाणे संख्यारेषेवर दाखवता येतात. पण अशाही अनेक संख्या आहेत ज्या कंपास आणि पट्टी यांच्या सहाय्याने दाखवता येत नाहीत. उदाहरणार्थ २ चे घनमूळ. तसेच कोणताही कोन असेल तर आपण त्याचे दोन समान भाग करू शकतो. म्हणजे त्याला दुभागू शकतो, पण त्याचे तीन समान भाग कंपास व पट्टी वापरून करता येत नाहीत. हे करण्याचा अनेक गणिती लोकांनी शतकानुशतके प्रयत्न केला. अखेर गॅल्वा नावाच्या फ्रेंच गणिती युवकाने इ. स. १८३२ मध्ये सिद्ध करून दाखवले, की वाटेल त्या कोनाचे त्रिभाजन करणे, दिलेल्या वर्तुळाच्या परिमितीएवढी परिमिती असणारा चौरस काढणे ही कामे केवळ कंपास व पट्टी वापरून करणे अशक्‍य आहे. त्यासाठी नवे बीजगणित त्याने वापरले.’ ‘गणिती लोकांना असे कूट प्रश्‍न एकमेकांना घालायची, ते सोडवायचा प्रयत्न करायची हौस असते असे दिसते,’ सतीशचे अवलोकन ऐकून बाई म्हणाल्या, ‘खरे आहे ते, त्यातून कधी कधी गणिताच्या नव्या शाखा निर्माण होतात.’

संबंधित बातम्या