मजेदार सूत्रे; वैदिक गणित 

 मंगला नारळीकर  
गुरुवार, 27 सप्टेंबर 2018

गणित भेट : गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...    

सतीश उत्साहाने शाळेतली गंमत सांगू लागला... ‘आज आमच्या वर्गात एक नवे शिक्षक आले होते, त्यांनी गुणाकाराची सोपी रीत शिकवली.’ ‘अरे वा! आपण पाहू या ती रीत. तू समजावून सांग बरे,’ मालतीबाई म्हणाल्या. सतीशने कागद-पेन्सिल घेऊन गुणाकार लिहिला. त्याचे स्पष्टीकरण असे होते, ‘असा गुणाकार करताना ७३ मधून एक वजा करून प्रथम ७२ लिहिले. मग ९९ मधून हे ७२ वजा करत वजाबाकी पुढे लिहिली. झाला गुणाकार! सोपा आहे की नाही? यातली वजाबाकीसुद्धा सोपीच आहे, हातचा घ्यावा लागत नाही. याच नियमाने मोठे गुणाकार करता येतात. हे पहा...’ असे म्हणत त्याने दुसरा गुणाकार केला. ‘इथेदेखील तोच नियम वापरला. ६४७ मधून एक वजा करून ६४६ आधी लिहिले. मग ९९९ मधून हे ६४६ वजा करून वजाबाकी पुढे लिहिली. झाला गुणाकार!’ ‘तपासून पाहू या..’ असे म्हणून हर्षाने तो गुणाकार करून पाहिला, तर बरोबर होता. ‘खरेच किती सोपी रीत आहे ही! चार अंकी ९९९९ ला दुसऱ्या चार अंकी संख्येने गुणताना हाच नियम वापरता येतो का, मी पाहते...’ असे म्हणून शीतलने हा गुणाकार केला. ‘तपासून पाहू..’ म्हणत तिने तो तपासला. बरोबर होता तो. ‘हा जादूचा नियम दिसतो आहे. शाळेत गुणाकार एवढा सोपा नसतो. तिथे असा सोपा गुणाकार का शिकवत नाहीत?’ नंदूने विचारले. आता मालतीबाई म्हणाल्या, ‘पण एक गोष्ट ध्यानात आली का? हा गुणाकार कोणत्याही संख्यांचा नाही. त्या दोन्ही संख्या समान अंकी आहेत आणि त्यातली एक केवळ नऊ या अंकांनी तयार झाली आहे. ही रीत २४६ व ९७ यांच्या गुणाकारासाठी उपयोगी पडणार नाही. अर्थात या स्पेशल संख्यांसाठी ही रीत खरेच सोपी आहे. शाळेत शिकवली जाणारी पद्धत कोणत्याही संख्यांचा गुणाकार करण्यासाठी उपयोगी असते, तिचे उपयोजन खूप व्यापक आहे. म्हणून ती शिकायला हवीच.’ 

‘ते नवे शिक्षक म्हणाले, अशा अनेक सोप्या पद्धती वैदिक गणितात आहेत आणि त्यांच्या क्‍लासमध्ये त्या शिकवल्या जातात. मी आणि काही मित्र त्यांच्या क्‍लासला जायचा विचार करतोय,’ सतीश म्हणाला. बाई सांगू लागल्या, ‘हे वैदिक गणित आहे हे विधान मात्र चूक आहे. अशा काही युक्‍त्या किंवा ट्रिक्‍स जगन्नाथपुरीच्या भारती कृष्णतीर्थ नावाच्या शंकराचार्यांना अवगत होत्या. त्यांनी गणिताचा एम.एस्सी.पर्यंत अभ्यास केला होता. ते १९२५ ते १९६० या काळात पुरीचे शंकराचार्य होते. स्वतः गणित विषयात एम.ए. झाले होते. त्यांच्या युक्‍त्या लोकांनी अभ्यासाव्यात असा त्यांचा प्रयत्न होता. ते त्या शिकवीत आणि त्यांच्या जवळच्या अथर्व वेदाच्या प्रतीत, परिशिष्टात त्या संस्कृतमध्ये, संक्षिप्त रूपात दिल्या आहेत असे सांगत. पण त्या वेदांच्या इतर प्रतींमध्ये नाहीत, शिवाय १९२५ च्या पूर्वी, अनेक थोर भारतीय गणितज्ञ लोकांना त्या समजल्या नाहीत हे संभव दिसत नाही. काहीही वैदिक असले, तर पुरातन ऋषींनी लिहिलेले, खूप महत्त्वाचे असून हितकारक आहे, अभ्यासायला हवे अशी सामान्य लोकांची धारणा असते. तिचा फायदा घेऊन हा प्रचार झाला. आपण एक युक्ती पूर्वी पाहिली होती - १०० किंवा २०००, १०००० अशा संख्यांमधून कोणतीही लहान संख्या कशी वजा करायची ते! आठवते का?’ मुले म्हणाली, ‘हो, १०० मधून ६७ वजा करायचे असतील, तर आधी १०० मधून एक बाजूला ठेवला की उरलेल्या ९९ मधून ६७ वजा करणे सोपे जाते. कारण हातचा घ्यावा लागत नाही. मग वजाबाकीत काढून घेतलेला १ पुन्हा मिळवला, की उत्तर येते.’ ‘शाबास. हीच युक्ती १००, १०००, १०००० यातून वजाबाकी करताना, वैदिक म्हणवल्या गेलेल्या गणितात दिली आहे. वजा करण्याचा आधीचा प्रत्येक अंक ९ मधून आणि शेवटचा १० मधून वजा करा व उत्तर लिहा, अशी ती सांगितली जाते. पण ते पूर्ण बरोबर नाही, कारण शेवटचा अंक म्हणजे शून्य असेल, तर ते १० मधून वजा करून एक अंक येत नाही. त्यामुळे शेवटचा अंक शून्य नसेल, तरच तो नियम त्याप्रमाणे सांगता येईल. आपण दिलेला नियम कोणतीही संख्या वजा करताना बरोबर आहे. अशा अनेक युक्‍त्या गणितात आहेत. त्या भारती कृष्णतीर्थ या शंकराचार्यांना माहीत झाल्या होत्या. पण त्या खास संख्यांसाठीच उपयोगी आहेत. कोणत्याही सामान्य संख्यांच्या वरील क्रिया शाळेत शिकवल्या जातात त्या शिकायलाच हव्यात.’ 

बाईंचे बोलणे ऐकून सतीशने विचारले, ‘वैदिक गणिताच्या क्‍लासला जाणे चूक आहे का?’ ‘तसे नाही. त्यातल्या युक्‍त्या किंवा ट्रिक्‍स मजेदार आहेत, काही ठिकाणी त्या आकडेमोड सोपी करतात. पण ते गणित शाळेच्या गणिताला पर्याय नाही हे लक्षात ठेवा. शाळेतले गणित शिकून आवड आणि सवड असेल, तर त्या क्‍लासमध्ये जायला हरकत नाही. मात्र ते वैदिक गणित नाही आणि त्यात शिकवलेल्या सूत्रांची सिद्धता बीजगणितातील नियमांनी देता येते. वरच्या वर्गातील विद्यार्थ्यांनी त्या सिद्धता शोधाव्यात, तो त्यांच्यासाठी चांगला आव्हानात्मक प्रश्‍न असेल. उदाहरणार्थ आज सतीशने आणलेल्या युक्तीचे कारण किंवा सिद्धता शोधून पाहा. त्यासाठी थोडा विचार करा..’ बाई समजावत होत्या. त्यांचे बोलणे ऐकून शीतल म्हणाली, ‘७३ ला ९९ ने गुणणे म्हणजे ७३ ला १०० ने गुणून गुणाकारातून  वजा करणे असते, याचा उपयोग होईल असे वाटते.’ ‘शाबास, तेच लक्षात घेऊन तसा गुणाकार मांडून पाहा,’ बाई म्हणाल्या. मग शीतलने असा गुणाकार केला. ‘आता इथे ७३०० मधून ७३ वजा करणे म्हणजेच ७२९९ मधून ७२ वजा करणे आहे, हे लक्षात घेतले की त्या युक्तीची सिद्धता किंवा कारण समजते ना?’ शीतल आणि सतीशला ते समजले. 

संबंधित बातम्या