कोड्याचे स्पष्टीकरण 

मंगला नारळीकर
शुक्रवार, 27 जुलै 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

कोडे कसे सुटते ते बाई आज स्पष्ट करणार होत्या. म्हणून मुले उत्सुक होती. बाईंनी विचारले, ‘तुम्ही काय तर्क केला आहे या कोड्याबद्दल?’ ‘कोणतीही संख्या मनात धरली, तरी ती ओळखायला ही चारच कार्डे कशी मदत करतात?’ नंदू अजूनही कोड्यात होता. शीतलने अंदाज केला, द्विमान संख्यापद्धतीचा उपयोग आहे असे तुम्ही म्हणाला होतात. त्यात फक्त शून्य आणि एक एवढे दोनच अंक वापरले जातात. आपली संख्या ज्या कार्डावर आहे, त्या कार्डावरचा वरच्या डाव्या कोपऱ्यातला अंक घ्यायचा आहे, तो आहे १, २, ४ किंवा ८. द्विमान पद्धतीत संख्या लिहिताना डावीकडच्या स्तंभांची ही किंमत असते.’

(आकृती क्र. १) 

‘शाबास. आणखी एक गोष्ट पाहा.. आपण दशमान पद्धतीमध्ये संख्येची विस्तारित किंमत लिहिताना १०, १००, १००० यांनी गुणतो. त्याऐवजी द्विमानात २, ४, ८, १६ यांनी गुणायचे असते. प्रत्येक संख्येसाठी अशी एकमेव विस्तारित किंमत लिहिता येते. याचा उपयोग या कोड्यात केला आहे. उदाहरणार्थ, ५ ही संख्या ४ + १ अशी लिहावी लागते. ७ ही संख्या ४ + २ + १ अशी लिहावी लागते. ९ साठी ८ + १ हे विस्तारित रूप आहे. आता समजले का, १५ पर्यंतची कोणतीही संख्या कार्डांचा उपयोग करून कशी समजते ते?’ बाई सावकाश समजावत होत्या. सतीश म्हणाला, ‘आता समजतेय हळूहळू. ७ ही संख्या अ, ब, क या तीन कार्डांच्या वर आहे. त्यांच्या कोपऱ्यातले अंक बरोबर १, २, ४ हेच आहेत. त्यांची बेरीज सात येते.’ शीतल म्हणाली, ‘संख्येच्या विस्तारित रूपात दोन किंवा चार असेल, तर ती ब किंवा क या कार्डावर असेल. प्रत्येक कार्डाच्या वरच्या डाव्या कोपऱ्यात १, २, ४ किंवा ८ या संख्या आहेत. त्यावरून संख्येच्या विस्तारित रूपात १, २, ४ किंवा ८ ही संख्या असेल तर ती संख्या त्या कार्डावर लिहिली आहे. होय ना?’ 

‘शाबास! हेच स्पष्टीकरण आहे कोड्याचे,’ बाई म्हणाल्या. 

आता सतीशचा प्रश्‍न आला. ‘आपण द्विमान पद्धतीऐवजी पंचमान किंवा त्रिमान वापरून असे कोडे तयार करू शकतो का?’ बाईंनी खूष होऊन म्हटले, ‘शाबास, छान प्रश्‍न विचारलास. द्विमान पद्धतीच्या विस्तारित रूपात २, ४, ८ यांच्या स्तंभात फक्त १ किंवा शून्य लिहायचा असतो. कारण विस्तारित रूपात ४ असेल तर एकदाच असतो अन्यथा येतच नाही. म्हणून कार्डावर आपली संख्या असेल, तर विस्तारित रूपात ४ आहे, मग तो बेरजेत घ्यायचा. नाही तर तो बेरजेत घ्यायचा नाही. इतर पद्धतीत, उदाहरणार्थ त्रिमान पद्धतीत ३ किंवा ९ च्या स्तंभात शून्य, एक किंवा दोन अशा संख्या लिहायच्या असतात. कार्डावर आपली संख्या असेल तरी बेरजेत ३ किंवा ९ एकदा घ्यायचा की दोनदा हे समजत नाही. म्हणून संख्या ओळखता येत नाही. द्विमान पद्धतीत प्रत्येक संख्येचे विस्तारित रूप पाहून ठरवले आहे ती संख्या कोणकोणत्या कार्डांच्या वर लिहायची ते! तुम्ही पाच कार्डे करा, त्यात वरच्या डाव्या कोपऱ्यात १, २, ४, ८, १६ अशा संख्या लिहा. मग एक ते एकतीस एवढ्या संख्यांपैकी कोणतीही संख्या ओळखण्याचा असाच खेळ बनवा. मात्र आता एक ते एकतीस या सगळ्या संख्यांची विस्तारित रूपे तपासावी लागतील. एकूण पाच कार्डे तयार करायला हवीत,’ बाईंनी सुचवले. 

सतीश म्हणाला, ‘जरूर बनवू ते कोडे! वर्गातल्या मुलांना चकित करू आम्ही.’ मुलांनी कागद, पेन्सिली, पट्ट्या वापरून अशी पाच कार्डे बनवून बाईंची शाबासकी घेतली. (आकृती क्र. २ पहा) 

फोटो फीचर

संबंधित बातम्या