मसावि, लसावि शोधूया... 

मंगला नारळीकर
मंगळवार, 17 जुलै 2018

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज लसावि कसा असतो ते पाहू या आणि लसावि मसावि शोधायचे कसे हे पण पाहू. मग या राक्षसांची भीती न वाटता त्यांना कामाला कसे लावतात ते कळेल,’ मालतीबाई म्हणाल्या. 

‘आपण गेल्या वेळी मसावि पाहिला. दिलेल्या संख्यांचा मसावि म्हणजे त्यांचा सर्वांत मोठा सामाईक विभाजक किंवा फॅक्‍टर!’ शीतल म्हणाली. ‘बरोबर. दिलेल्या संख्यांचा लसावि म्हणजे त्यांचा सर्वांत लहान सामाईक विभाज्य म्हणजे गुणित किंवा मल्टिपल, हे ध्यानात ठेवा. मसावि हा संख्यांचा भाजक म्हणजे भागणारा तर लसावि हा त्यांचा गुणित म्हणजे त्यांच्या पटीत असणारा असतो असे लक्षात ठेवता येते,’ बाई म्हणाल्या. ‘भाजक सर्वांत मोठा हवा आणि गुणित सर्वांत लहान का पाहिजे?’ नंदूने विचारले. ‘जरा विचार करून पाहा. सर्वांत लहान सामाईक भाजक नेहमी एक हाच असतो, त्याला का शोधायचे? उलट सामाईक गुणक पाहा ६ आणि ८ यांचे!’ 

बाईंच्या सूचनेवर सतीश म्हणाला, ‘ते २४, ४८, ७२ असे अनेक आहेत.’ ‘६ आणि ८ चे सगळे गुणित किंवा ६ आणि ८ ने विभाज्य असणाऱ्या अनेक संख्या आहेत. त्यातली सर्वांत मोठी निवडणे शक्‍य नाही हे पटले ना? त्यातली सर्वांत लहान उपयोगी पडते,’ बाई समजावत होत्या. नंदूने तक्रार केली, ‘तरी कोणता लसावि कोणता मसावि याचा गोंधळ होतो आमचा.’ ‘असे लक्षात ठेवा की मसावि हा संख्यांचे समान तुकडे करणारा उंदीर आहे, तो संख्यांपेक्षा लहान असतो. उलट लसावि संख्यांच्या पटीत असल्यामुळे मोठा असतो. (आकृती १ पाहा) नावात मात्र महत्तम, लघुतम हे उलट अर्थाचे शब्द आहेत. कारण मसावि हा महत्तम किंवा सर्वांत मोठा साधारण विभाजक आहे, तर लसावि हा लघुतम म्हणजे सर्वांत लहान साधारण विभाज्य आहे. विभाज्य हा काही नेहमीच्या वापरातला शब्द नाही, गुणितचा अर्थ चटकन समजतो, मल्टीपलसारखा, पण लसावि मसावि यांचे यमक बरे जुळते. आता ३० आणि ३६ या संख्यांचा लसावि काढा पाहू. त्यासाठी त्यांच्या पटीतल्या काही संख्या पाहा.’ 

मुलांनी ते काम केले. ३० च्या पटीत ३०, ६०, ९०, १२०, १५०, १८०, २१०. 
३६ च्या पटीत ३६, ७२, १०८, १४४, १८० या संख्या पाहिल्यावर त्यांना लसावि १८० आहे हे समजले. 

‘आता एक लहान कोडे सोडवा. एका घरात तीन मुले आहेत. तिघे एका वेळेला कामाला परगावी जातात. पहिला दर ३ महिन्यांनी घरी येतो, दुसरा दर ४ महिन्यांनी घरी येतो, तिसरा दर ६ महिन्यांनी घरी येतो. आई ठरवते, की सगळे एकदम येतील तेव्हा सण साजरा करू. आईला ती संधी केव्हा मिळेल?’ बाईंनी दिलेले कोडे मुले सोडवू लागली. ‘३, ४ आणि ६ या संख्यांच्या पटीत असलेल्या संख्या हव्यात,’ असे शीतलने नमूद करताच सतीश म्हणाला, ‘म्हणजे लसावि काढायचा; तो आहे १२!’ ‘दर बारा महिन्यांनी म्हणजे दर वर्षात एकदा सण साजरा होणार,’ नंदूने उत्तर काढले. 

‘लसाविचा आणखी एक उपयोग तुम्ही शाळेच्या गणितात करता, तो पाहा. आपण व्यवहारी अपूर्णांकाचे किंवा परिमेय संख्यांचे काही नियम शिकलो, ते आठवा बरे!’ बाईंनी सुचवताच शीतल म्हणाली, ‘अंश आणि छेद यांना एकाच संख्येने गुणले, तर अपूर्णांकाची किंमत बदलत नाही.’ सतीशला आठवले, ‘अपूर्णांकांची बेरीज, वजाबाकी करताना त्यांचे छेद समान करून घेतात.’ ‘शाबास. आता ही बेरीज पाहा... २३/३६ + १७/२४ ही बेरीज कशी करायची?’ हा प्रश्‍न ऐकून हर्षा म्हणाली, ‘दोन्ही अपूर्णांकांचा छेद ३६ x २४ असा करता येतो तसा केला, की बेरीज करता येते ना?’ ‘तसे केले, तर समान छेद येतो, तो बराच मोठा आहे. एकूण आकडेमोड मोठी होते. पण लक्षात घ्या, की समान छेद हा ३६ आणि २४ दोघांचा सामाईक गुणित हवा आहे तो लसावि घेता येतो,’ बाईंची सूचना ऐकताच सतीश म्हणाला, ‘लसावि ७२ आहे. म्हणजे ८६४ पेक्षा बराच लहान. तो समान छेद घेतला, तर आकडेमोड सोपी होते.’ 

‘शाबास! आता समजले ना की मसावि, लसावि हे राक्षस वाटले, तरी ते आपले काम सोपे करायला मदत करू शकतात. गेल्या खेपेला आपण मसाविचा उपयोग किमतींच्या तुलनेसाठी केला होता. त्याचे आणखीही अनेक उपयोग गणितात होतात. एकूण गणितात अनेक गोष्टी आपण शिकतो. त्या आपली कामे सोपी करण्यासाठी शोधलेल्या असतात. उदाहरणार्थ पाढे पाठ करायला मुलांना कंटाळा येतो, पण गुणाकार भागाकार लवकर करायला, गुणक पाडायला पाढे खूप उपयोगी असतात. दहापर्यंतचे पाढे आवश्‍यक आहेत. पण १५ किंवा १६ पर्यंतचे पाढे पाठ करा, त्याचा नक्की फायदा होतो. महिनाभर रोज ३-४ मिनिटे पुरे होतात एवढे पाढे म्हणायला...’ बाईंचा सल्ला मुलांना पटलेला दिसला.

संबंधित बातम्या