विसंगती

मंगला नारळीकर
सोमवार, 18 नोव्हेंबर 2019

गणित भेट
गणिताची भीती वाटते? छे! किती गमती असतात त्यात...

आज शीतलनं एक चक्रावून टाकणारं कोडं आणलं. तिनं प्रथम नंदूला त्याचं वय विचारलं. तो म्हणाला, ‘मी आता आठ वर्षांचा झालो.’ शीतल म्हणाली, ‘मी गणितानं तुझं वय शून्य वर्षं करून दाखवते. आपण तुझं वय N मानू आणि अशी समीकरणं मांडू,’ असं म्हणून तिनं ही समीकरणं मांडून दिली... (आकृती १ पहा) ‘यावरून दिसतंय, की N म्हणजे तुझं वय शून्य आहे! हे कसं शक्य आहे?’ हर्षा म्हणाली. मालतीबाई हसून म्हणाल्या, ‘युक्तिवाद साधारणपणे बरोबर दिसला, तरी यात एक चूक लपली आहे. नीट पाहिलं तर दिसेल. अशा युक्तिवादाला इंग्रजीमध्ये Fallacy म्हणतात.’ सतीशनं चूक ओळखली. तो म्हणाला, ‘चौथ्या पायरीत (N – 8) हा अवयव काढून टाकला आहे, ते चूक आहे. समान अवयवानं भागायला परवानगी आहे, पण तो शून्य असून चालणार नाही.’ ‘शाबास! गणिती युक्तिवादात कधी कधी अशा चुका लपलेल्या असल्या, तर त्यातून मिळणाऱ्या चुकीच्या विधानाला Fallacy असं म्हणतात. याची अनेक मजेदार उदाहरणं आहेत. मी तुम्हाला १ रुपया = १ नया पैसा असं सिद्ध करून दाखवते. त्यातली चूक तुम्ही शोधा,’ असं म्हणून बाईंनी ही समीकरणं लिहून दिली. (वरील आकृती २ पहा) 

मुलं थोडा वेळ विचार करत होती. त्यांना चूक सापडेना. मग बाई म्हणाल्या, ‘इथं अगदी मूलभूत क्रियेत चूक आहे. आपण १० पैशांची दहापट करतो, म्हणजे १० पैशांतील १० ला १० नं गुणतो, १० पैशांना १० पैशांनी गुणत नाही. म्हणून १० पैसे x १० पैसे हा, तसंच १/१० रु x १/१० रु हा गुणाकार मुळात चुकीचा आहे.’ 

बाई पुढं म्हणाल्या, ‘Bertrand Russel या विख्यात गणितीनं दिलेली मजेदार Fallacy सांगते. एका खेडेगावात एकच न्हावी होता. त्यानं आपल्या दुकानाच्या बाहेर पाटी लावली होती आणि तिच्यावर लिहिलं होतं - गावातील जो कुणी स्वतःची दाढी करत नाही, त्याचीच मी दाढी करतो. तर आता ठरवा, तो स्वतःची दाढी करतो की नाही ते!’ 

सतीशचं मत होतं, ‘तो स्वतःची दाढी करत नसेल, तर त्याच्या पाटीवर लिहिलंय, त्याप्रमाणं त्यानं आपली दाढी करायला पाहिजे.’ शीतलनं दाखवून दिलं, ‘पण तो स्वतःची दाढी करत असेल, तर ज्यांची दाढी तो करतो, त्यांच्या ग्रुपमध्ये तो बसू शकत नाही असंही त्या पाटीवरून दिसतं. म्हणजे तो स्वतःची दाढी करत नाही.’ 

बाई म्हणाल्या, ‘इथं पाटीवरच्या विधानात विसंगती आहे. त्यावरून तो स्वतःची दाढी करतो की नाही हे ठरवता येत नाही. ही विसंगती नाहीशी होऊ शकेल अशी एक परिस्थिती असू शकते. जर न्हावी पुरुष नसून बाई असेल तर मग विसंगती नाहीच!’  

संबंधित बातम्या